Convergence normale d'une série de fonctions puissances

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur le segment $[0, 1]$ .

On s'intéresse à la série de fonctions $\sum u_n$ définie pour $t \in [0, 1]$ par :

u_n(t) = t^n f(t)

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que la série $\sum u_n$ converge normalement sur le segment $[0, 1]$ .

1.

La convergence normale sur $[0, 1]$ implique la convergence simple en $t=1$ . Qu'est-ce que cela impose pour $f(1)$ ?

2.

Effectuer le changement de variable $x = 1 - t$ pour étudier le comportement au voisinage de $t=1$ .

3.

Pour la condition sur $f'(1)$ , étudier le maximum de la fonction $g_n(x) = x(1-x)^n$ ou $h_n(x) = x^2(1-x)^n$ sur $[0, 1]$ .

Idées clés

•

Condition nécessaire de convergence simple en $1$ .

•

Utilisation de la borne supérieure de $|u_n|$ sur $[0, 1]$ .

•

Développement de Taylor pour estimer le comportement local.

Résolution.

Soit $f \in \mathcal{C}^2([0, 1], \mathbb{R})$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0, 1]$ , on pose $u_n(t) = t^n f(t)$ . Notons $\|u_n\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |u_n(t)|$ .

1. Nécessité de la condition $f(1) = 0$ .

Supposons que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, 1]$ . Alors elle converge simplement sur $[0, 1]$ . En particulier, en $t=1$ , la série numérique $\sum u_n(1) = \sum f(1)$ doit converger.

Ceci impose que le terme général tende vers $0$ : $f(1) = 0$ .

2. Nécessité de la condition $f'(1) = 0$ .

Supposons $f(1) = 0$ . On effectue le changement de variable $x = 1 - t$ , avec $x \in [0, 1]$ . Soit $g$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $g(x) = f(1-x)$ . Puisque $f \in \mathcal{C}^2$ , on a $g \in \mathcal{C}^2$ .

L'hypothèse $f(1) = 0$ devient $g(0) = 0$ . Par le développement de Taylor-Young en $0$ , on a :

g(x) = g'(0) x + o(x)

Supposons par l'absurde que $g'(0) \neq 0$ (c'est-à-dire $f'(1) \neq 0$ ). Alors, au voisinage de $0$ , $g(x) \sim g'(0) x$ . Considérons la valeur en $t_n = 1 - \frac{1}{n}$ pour $n$ assez grand. On a $x_n = 1/n$ , et :

|u_n(t_n)| = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n |g(1/n)|

Or, $\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to e^{-1}$ et $|g(1/n)| \sim \frac{|g'(0)|}{n}$ . Donc :

|u_n(t_n)| \sim \frac{|g'(0)|}{e \cdot n}

3. Suffisance de la condition $f(1) = f'(1) = 0$ .

Supposons $f(1) = f'(1) = 0$ . Alors $g(0) = g'(0) = 0$ . D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange ou le reste intégral (puisque $g$ est $\mathcal{C}^2$ ), il existe $M > 0$ tel que :

\forall x \in [0, 1],   |g(x)| \leq M x^2

On en déduit l'existence d'une constante $K$ telle que pour tout $t \in [0, 1]$ :

|u_n(t)| = t^n |f(t)| = (1-x)^n |g(x)| \leq M x^2 (1-x)^n

Soit $h_n(x) = x^2 (1-x)^n$ . Étudions cette fonction sur $[0, 1]$ . Sa dérivée est :

h_n'(x) = 2x(1-x)^n - n x^2 (1-x)^{n-1} = x(1-x)^{n-1} \left( 2(1-x) - nx \right)

La dérivée s'annule sur $]0, 1[$ pour $x_n = \frac{2}{n+2}$ . Le maximum de $h_n$ est donc :

\|h_n\|_\infty = h_n(x_n) = \left( \frac{2}{n+2} \right)^2 \left( 1 - \frac{2}{n+2} \right)^n

On a le développement suivant :

\|h_n\|_\infty \sim \frac{4}{n^2} e^{-2}

Puisque $\|u_n\|_\infty \leq M \|h_n\|_\infty$ et que $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série $\sum \|u_n\|_\infty$ converge.

La condition nécessaire et suffisante est :

\boxed{ f(1) = 0   \text{et}   f'(1) = 0 }

Croire que f(1)=0 est suffisant pour la convergence normale.

L'étude locale en 1 via x=1-t et l'estimation du maximum des fonctions x^a(1-x)^n.