Périodicité de la limite uniforme

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui converge uniformément vers une fonction $f$ sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

On suppose que pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ est périodique de période $T_n > 0$ . On suppose également que la suite des périodes $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée.

Montrer que la fonction limite $f$ admet une période $T > 0$ .

1.

Utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass sur la suite des périodes $(T_n)$ .

2.

Distinguer le cas où la limite d'une sous-suite de périodes est strictement positive du cas où elle est nulle.

3.

Pour le cas où la limite des périodes est nulle, montrer que la fonction $f$ est nécessairement constante en utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité.

Idées clés

•

Compacité : Extraction d'une sous-suite convergente de périodes.

•

Conservation de la continuité par convergence uniforme locale.

•

Cas limite des petites périodes : Une fonction "infiniment" périodique et continue est constante.

Résolution.

La suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite réelle bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite $(T_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge vers un réel $T \ge 0$ . Comme pour tout $n$ , $T_n > 0$ , on a par passage à la limite :

T \ge 0

Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment, la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Premier cas : $T > 0$ .

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a par $T_{\phi(n)}$ -périodicité de $f_{\phi(n)}$ :

f_{\phi(n)}(x + T_{\phi(n)}) = f_{\phi(n)}(x)

Étudions la limite de chaque membre. Par convergence simple de la suite de fonctions, on a :

\lim_{n \to \infty} f_{\phi(n)}(x) = f(x)

Pour le terme de gauche, utilisons la continuité de $f$ et la convergence uniforme locale. On écrit :

|f(x+T) - f_{\phi(n)}(x+T_{\phi(n)})| \le |f(x+T) - f(x+T_{\phi(n)})| + |f(x+T_{\phi(n)}) - f_{\phi(n)}(x+T_{\phi(n)})|

Le premier terme tend vers $0$ par continuité de $f$ car $x+T_{\phi(n)} \to x+T$ . Le second terme tend vers $0$ car $(f_{\phi(n)})$ converge uniformément vers $f$ sur un segment contenant $x+T$ et les $x+T_{\phi(n)}$ pour $n$ assez grand.

Ainsi, par passage à la limite dans l'égalité de périodicité, on obtient :

\boxed{f(x+T) = f(x)}

La fonction $f$ est donc périodique de période $T > 0$ .

Second cas : $T = 0$ .

Supposons que la seule valeur d'adhérence de la suite $(T_n)$ soit $0$ , ce qui implique $T_n \to 0$ (ou que l'on ait extrait une sous-suite tendant vers $0$ ).

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $h \in \mathbb{R}$ . Montrons que $f(x+h) = f(x)$ . Pour chaque $n$ , posons $k_n = \lfloor \frac{h}{T_n} \rfloor \in \mathbb{Z}$ . On a alors :

k_n T_n \le h < (k_n + 1) T_n \implies |h - k_n T_n| \le T_n

Puisque $T_n \to 0$ , il vient $k_n T_n \to h$ . Par $T_n$ -périodicité, on a $f_n(x + k_n T_n) = f_n(x)$ . En utilisant un raisonnement identique au premier cas (convergence uniforme sur un segment et continuité de $f$ ), on montre que :

\lim_{n \to \infty} f_n(x + k_n T_n) = f(x+h)   \text{et}   \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)

On en déduit que :

\forall h \in \mathbb{R},   f(x+h) = f(x)

La fonction $f$ est donc constante sur $\mathbb{R}$ . Une fonction constante admet n'importe quel réel $T > 0$ comme période (par exemple $T=1$ ).

Conclusion.

Dans tous les cas, $f$ admet une période strictement positive :

\boxed{ \text{

Oublier le cas où la limite des périodes est nulle (fonction constante).

La limite uniforme de fonctions périodiques à périodes bornées est périodique.