Convergence de l'interpolation de Lagrange

Résolution.

1. Expression de l'erreur d'interpolation Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$. D'après le théorème du reste de Lagrange, puisque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$, il existe un réel $\xi_x \in (0, 1)$ tel que :
   $$f(x) - L_n(f)(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \prod_{k=0}^n \left(x - \frac{k}{n}\right)$$
   Notons $\omega_n(x) = \prod_{k=0}^n (x - \frac{k}{n})$ le polynôme nodal. L'erreur uniforme est alors contrôlée par :
   $$\|f - L_n(f)\|_\infty \leq \frac{\|f^{(n+1)}\|_\infty}{(n+1)!} \|\omega_n\|_\infty$$

2. Majoration du polynôme nodal Soit $x \in [0, 1]$. Il existe un indice $j \in \{0, \dots, n-1\}$ tel que $x \in [x_j, x_{j+1}]$. On a alors $|x - x_j| \cdot |x - x_{j+1}| \leq \frac{1}{4n^2}$ (le maximum de la fonction $t(h-t)$ est $h^2/4$ avec $h=1/n$). Pour les autres termes $|x - x_k|$ :
   • Si $k < j$, $|x - x_k| \leq \frac{j+1-k}{n}$.
   • Si $k > j+1$, $|x - x_k| \leq \frac{k-j}{n}$.
   En regroupant ces majorations, on obtient :
   $$|\omega_n(x)| \leq \frac{1}{4n^2} \left( \prod_{k=0}^{j-1} \frac{j+1-k}{n} \right) \left( \prod_{k=j+2}^n \frac{k-j}{n} \right)$$
   Ce qui se simplifie en :
   $$|\omega_n(x)| \leq \frac{1}{4n^2} \frac{(j+1)!}{n^j} \frac{(n-j)!}{n^{n-j-1}} = \frac{(j+1)!(n-j)!}{4n^{n+1}}$$
   Le produit d'entiers $(j+1)!(n-j)!$ est maximal lorsque $j=0$ ou $j=n-1$. Dans les deux cas, ce maximum vaut $n!$. On en déduit :
   $$\boxed{\|\omega_n\|_\infty \leq \frac{n!}{4n^{n+1}}}$$

3. Condition suffisante de convergence En réinjectant cette majoration dans l'expression de l'erreur :
   $$\|f - L_n(f)\|_\infty \leq \frac{\|f^{(n+1)}\|_\infty}{(n+1)!} \frac{n!}{4n^{n+1}} = \frac{\|f^{(n+1)}\|_\infty}{4(n+1)n^{n+1}}$$
   Pour assurer la convergence uniforme vers 0, il suffit que le terme de droite tende vers 0. Une condition suffisante classique est que la croissance des dérivées soit contrôlée par une exponentielle. Supposons qu'il existe $M > 0$ tel que :
   $$\forall n \in \mathbb{N},   \|f^{(n)}\|_\infty \leq M^n$$
   Alors l'erreur est majorée par :
   $$\frac{M^{n+1}}{4(n+1)n^{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \left(\frac{M}{n}\right)^{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   On peut même proposer une condition plus large. Si $\|f^{(n)}\|_\infty = o(n^n)$, alors la convergence est assurée.