Liberté de fonctions et convergence uniforme

Résolution.

1. Sens direct. Supposons que la famille $(f_1, \dots, f_n)$ soit liée. Il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tel que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i = 0_E$. Pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in [0, 1]^n$, on a alors pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$ :
   $$\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i(x_j) = 0$$
   Ceci montre que les lignes de la matrice $C(x_1, \dots, x_n)$ sont liées par la même combinaison linéaire.
   $$\boxed{\forall (x_1, \dots, x_n) \in [0, 1]^n, \det(C(x_1, \dots, x_n)) = 0}$$

   Sens réciproque. Nous raisonnons par contraposée. Supposons la famille $(f_1, \dots, f_n)$ libre. Montrons par récurrence sur $n \geqslant 1$ qu'il existe $(x_1, \dots, x_n) \in [0, 1]^n$ tel que $\det(C(x_1, \dots, x_n)) \neq 0$. Initialisation ($n=1$) : $(f_1)$ est libre, donc $f_1 \neq 0$. Il existe $x_1 \in [0, 1]$ tel que $f_1(x_1) \neq 0$, donc le déterminant $1 \times 1$ est non nul. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n-1$. Soit $(f_1, \dots, f_n)$ libre. La sous-famille $(f_1, \dots, f_{n-1})$ est libre. Par hypothèse de récurrence, il existe $(x_1, \dots, x_{n-1})$ tel que le déterminant $D_{n-1} = \det(f_i(x_j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n-1}$ soit non nul. Considérons la fonction $\Delta : x \mapsto \det(C(x_1, \dots, x_{n-1}, x))$. En développant par rapport à la dernière colonne :

   $$\Delta(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i f_i(x)$$
   où $\alpha_i$ est le cofacteur de l'élément en position $(i, n)$. En particulier, $\alpha_n = D_{n-1} \neq 0$. Comme la famille $(f_i)$ est libre, la fonction $\Delta$ (combinaison linéaire des $f_i$ avec au moins un coefficient non nul) ne peut pas être la fonction nulle. Il existe donc $x_n \in [0, 1]$ tel que $\Delta(x_n) \neq 0$.
   $$\boxed{\exists (x_1, \dots, x_n) \in [0, 1]^n, \det(C(x_1, \dots, x_n)) \neq 0}$$

2. 1. Puisque $F$ est un sous-espace de dimension finie d'un espace vectoriel normé, il est fermé dans $E$. Cependant, ici la convergence est simple et non uniforme. Utilisons une base $(g_1, \dots, g_p)$ de $F$. D'après la question 1, il existe $(x_1, \dots, x_p)$ tels que $\det(g_i(x_j)) \neq 0$. Pour chaque $k$, $f_k \in F$ s'écrit $f_k = \sum_{j=1}^p \lambda_j^{(k)} g_j$. En évaluant en $x_1, \dots, x_p$, on obtient un système de Cramer pour les $(\lambda_j^{(k)})$. Comme $f_k(x_i) \to f(x_i)$, les coefficients $\lambda_j^{(k)}$ convergent vers des réels $\lambda_j$. Alors $f_k$ converge simplement vers $\sum \lambda_j g_j$, donc $f = \sum \lambda_j g_j \in F$.
      $$\boxed{f \in F}$$
   1. On peut supposer $f=0$ quitte à étudier $h_k = f_k - f \in F$. Soit $(g_1, \dots, g_p)$ une base de $F$. On fixe $(x_1, \dots, x_p)$ tels que $D = \det(g_i(x_j)) \neq 0$. Pour tout $x \in [0, 1]$, la famille $(g_1, \dots, g_p, f_k)$ est liée (car de cardinal $p+1$ dans $F$ de dimension $p$). Le déterminant suivant est nul :
      $$\begin{vmatrix} g_1(x_1) & \cdots & g_1(x_p) & g_1(x)$$
      \vdots & & \vdots & \vdots
      g_p(x_1) & \cdots & g_p(x_p) & g_p(x)
      f_k(x_1) & \cdots & f_k(x_p) & f_k(x) \end{vmatrix} = 0
      En développant par rapport à la dernière ligne :
      $$D f_k(x) + \sum_{j=1}^p \Delta_j(x) f_k(x_j) = 0$$
      où les $\Delta_j(x)$ sont des déterminants dont les colonnes sont des évaluations des fonctions de base. Les fonctions $\Delta_j$ sont continues sur $[0, 1]$, donc bornées par $M_j$. On a alors :
      $$|f_k(x)| \leqslant \frac{1}{|D|} \sum_{j=1}^p M_j |f_k(x_j)|$$
      Comme le membre de droite ne dépend pas de $x$, on passe à la norme infinie :
      $$\|f_k\|_\infty \leqslant \frac{1}{|D|} \sum_{j=1}^p M_j |f_k(x_j)|$$
      Comme $f_k(x_j) \to 0$ pour chaque $j$ (convergence simple vers 0), le majorant tend vers 0.
      $$\boxed{\|f_k\|_\infty \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0}$$