Itérés d'un opérateur de Volterra

Résolution.

1. Construction des noyaux par récurrence.

   Initialisation : Pour $n=1$, $K_1 = K$ convient par définition de $T_K$.

   Hérédité : Supposons qu'il existe $K_n \in \mathscr{C}^0([a, b]^2, \mathbb{C})$ vérifiant les propriétés demandées. Soit $u \in E$, on a :

   $$T_K^{n+1}(u)(x) = T_K(T_K^n(u))(x) = \int_a^x K(x, z) \left( \int_a^z K_n(z, y) u(y)   dy \right) dz$$
   Le domaine d'intégration est l'ensemble des $(y, z)$ tels que $a \leqslant y \leqslant z \leqslant x$. En appliquant le théorème de Fubini (ou en justifiant par l'étude d'une primitive pour rester strictement au programme), on peut intervertir les intégrales :
   $$T_K^{n+1}(u)(x) = \int_a^x \left( \int_y^x K(x, z) K_n(z, y)   dz \right) u(y)   dy$$
   On pose alors :
   $$\boxed{K_{n+1}(x, y) = \int_y^x K(x, z) K_n(z, y)   dz   \text{si } y \leqslant x}$$
   et $K_{n+1}(x, y) = 0$ sinon.

   La continuité de $K_{n+1}$ sur $[a, b]^2$ se démontre à l'aide du théorème de continuité sous le signe intégral (ou par convergence dominée) appliqué à la fonction $(x, y) \mapsto \int_a^b \tilde{K}(x, z) \tilde{K}_n(z, y)   dz$ où les tildes désignent les prolongements par zéro.

2. Majoration du noyau.

   Montrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ la propriété $\mathcal{P}_n : \forall x \geqslant y, \ |K_n(x, y)| \leqslant \|K\|_\infty^n \frac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!}$.

   Pour $n=1$ : $|K_1(x, y)| = |K(x, y)| \leqslant \|K\|_\infty$. L'inégalité est vérifiée.

   Supposons $\mathcal{P}_n$ vraie pour un certain $n \geqslant 1$. Pour $x \geqslant y$ :

   $$|K_{n+1}(x, y)| = \left| \int_y^x K(x, z) K_n(z, y)   dz \right| \leqslant \int_y^x |K(x, z)| \cdot |K_n(z, y)|   dz$$
   En utilisant l'hypothèse de récurrence :
   $$|K_{n+1}(x, y)| \leqslant \int_y^x \|K\|_\infty \cdot \left( \|K\|_\infty^n \frac{(z - y)^{n-1}}{(n - 1)!} \right) dz$$
   $$|K_{n+1}(x, y)| \leqslant \frac{\|K\|_\infty^{n+1}}{(n - 1)!} \int_y^x (z - y)^{n-1}   dz = \frac{\|K\|_\infty^{n+1}}{(n - 1)!} \left[ \frac{(z - y)^n}{n} \right]_y^x$$
   D'où :
   $$\boxed{|K_{n+1}(x, y)| \leqslant \|K\|_\infty^{n+1} \frac{(x - y)^n}{n!}}$$
   L'hérédité est établie.

3. Convergence de la série de fonctions.

   Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $u \in E$. Pour tout $x \in [a, b]$ :

   $$|T_K^n(u)(x)| = \left| \int_a^x K_n(x, y) u(y)   dy \right| \leqslant \int_a^x |K_n(x, y)| \cdot |u(y)|   dy$$
   En injectant la majoration de la question précédente :
   $$|T_K^n(u)(x)| \leqslant \int_a^x \|K\|_\infty^n \frac{(x - y)^{n-1}}{(n - 1)!} \|u\|_\infty   dy = \|u\|_\infty \|K\|_\infty^n \frac{(x - a)^n}{n!}$$
   On en déduit la majoration de la norme infinie :
   $$\|T_K^n(u)\|_\infty \leqslant \|u\|_\infty \frac{\left( \|K\|_\infty (b - a) \right)^n}{n!}$$
   Le terme général de notre série est alors majoré par :
   $$\left\| \frac{T_K^n(u)}{\lambda^n} \right\|_\infty \leqslant \frac{\|u\|_\infty}{n!} \left( \frac{\|K\|_\infty (b - a)}{|\lambda|} \right)^n$$
   On reconnaît le terme général d'une série exponentielle convergente.

   La série de fonctions $\sum \frac{T_K^n(u)}{\lambda^n}$ converge donc normalement, et par suite \boxed{\text{uniformément sur } [a, b]}.