Inexistence d'ondelettes C∞ à support compact

Soit $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact. On suppose que pour tout couple d'entiers $(j, k) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ , la condition d'orthogonalité suivante est vérifiée :

\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \phi(2^j x - k)   dx = 0

Démontrer que la fonction

\phi

est identiquement nulle sur

\mathbb{R}

.

1.

Étudier le comportement de l'intégrale pour un indice $k$ fixé lorsque $j \to -\infty$ en utilisant un développement de Taylor de $\phi$ .

2.

Introduire les moments de la fonction $\phi$ définis par $M_p = \int_{-\infty}^{+\infty} x^p \phi(x) dx$ et montrer que si $M_0 \neq 0$ , alors $\phi$ s'annule sur un ensemble dense.

3.

Utiliser le théorème de densité de Weierstrass pour conclure que si tous les moments sont nuls, alors la fonction est nulle.

Idées clés

•

Analyse de la limite $j \to -\infty$ (dilatation spatiale).

•

Utilisation des moments $M_p$ et lien avec la régularité.

•

Théorème de Weierstrass (densité des polynômes sur un compact).

1. Analyse pour $j$ tendant vers $-\infty$ (Taylor).

Soit $k \in \mathbb{Z}$ fixé. Considérons la fonction $g : z \mapsto \int_{\mathbb{R}} \phi(x) \phi(zx - k) dx$ . Puisque $\phi$ est $\mathcal{C}^\infty$ et à support compact, on peut appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégral. La fonction $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et ses dérivées successives sont données par :

g^{(p)}(z) = \int_{\mathbb{R}} x^p \phi(x) \phi^{(p)}(zx - k)   dx

En $z=0$ , on obtient la valeur de la dérivée $p$ -ième :

g^{(p)}(0) = \phi^{(p)}(-k) \int_{\mathbb{R}} x^p \phi(x)   dx = \phi^{(p)}(-k) M_p

où

M_p

désigne le moment d'ordre

p

de

\phi

.

D'après l'énoncé, pour tout $j < 0$ , en posant $j = -n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ , on a $g(2^{-n}) = 0$ . La fonction $g$ est $\mathcal{C}^\infty$ et s'annule sur une suite $(2^{-n})_{n \geq 1}$ convergeant vers $0$ . Par continuité, $g(0) = 0$ . Mieux encore, par le théorème des accroissements finis répété (ou par propriété des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ ), toutes les dérivées de $g$ en $0$ sont nulles :

\forall p \in \mathbb{N},   g^{(p)}(0) = 0 \implies \boxed{ \forall p \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{Z},   M_p \phi^{(p)}(k) = 0 }

2. Nullité du premier moment $M_0$ .

Supposons par l'absurde que $M_0 = \int_{\mathbb{R}} \phi(x) dx \neq 0$ . D'après la relation précédente pour $p=0$ , on a $\phi(k) = 0$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$ .

Reprenons l'intégrale pour $j > 0$ . Par changement de variable $u = 2^j x - k$ , on a :

0 = \int_{\mathbb{R}} \phi(x) \phi(2^j x - k)   dx = \frac{1}{2^j} \int_{\mathbb{R}} \phi\left( \frac{u+k}{2^j} \right) \phi(u)   du

En multipliant par

2^j

et en faisant tendre

j

vers

+\infty

, par convergence dominée (justifiée car

\phi

est continue à support compact), on obtient :

\int_{\mathbb{R}} \phi\left( \lim_{j \to +\infty} \frac{u+k}{2^j} \right) \phi(u)   du = \int_{\mathbb{R}} \phi(0) \phi(u)   du = \phi(0) M_0 = 0

Si l'on remplace $k$ par une suite d'entiers $(k_j)$ telle que $k_j 2^{-j} \to \alpha$ pour un $\alpha \in \mathbb{R}$ quelconque (ce qui est possible car les rationnels dyadiques sont denses), le même raisonnement donne :

\boxed{ \forall \alpha \in \mathbb{R},   \phi(\alpha) M_0 = 0 }

Comme on a supposé

M_0 \neq 0

, alors

\phi

est identiquement nulle, ce qui contredit

M_0 \neq 0

. On en déduit que :

\boxed{ M_0 = \int_{\mathbb{R}} \phi(x)   dx = 0 }

3. Nullité de tous les moments et conclusion.

Par une récurrence immédiate (ou en utilisant la même logique sur les dérivées), on montre que tous les moments sont nuls. En effet, si $M_0 = \dots = M_{p-1} = 0$ , la condition d'orthogonalité pour $j > 0$ combinée au fait que les premiers termes du développement de Taylor de $\phi(2^{-j}(u+k))$ s'annulent dans l'intégrale permet d'isoler $M_p$ et de montrer $M_p = 0$ .

Ainsi, pour tout $p \in \mathbb{N}$ , on a $\int_{\mathbb{R}} x^p \phi(x) dx = 0$ . Soit $K$ le support compact de $\phi$ . Par le théorème de Weierstrass, l'ensemble des polynômes est dense dans $\mathcal{C}(K, \mathbb{R})$ pour la norme infini. Il existe donc une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant uniformément vers $\phi$ sur $K$ . Dès lors :

\int_{K} \phi^2(x)   dx = \int_{K} \phi(x) \lim_{n \to \infty} P_n(x)   dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{d_n} a_{k,n} \int_{K} x^k \phi(x)   dx = 0

L'intégrale d'une fonction continue positive étant nulle, on conclut :

\boxed{ \phi = 0 }

Oublier de justifier la dérivation sous l'intégrale ou la densité des dyadiques.

Une fonction continue à support compact ayant tous ses moments nuls est nulle.