Étude d'une tour de puissances

Résolution.

Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. On note $u_n = f_n(x)$. La suite $(u_n)$ vérifie $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = g(u_n)$ où $g : t \mapsto x^t = \exp(t \ln x)$.

1. Cas $x = 1$.

Si $x=1$, alors $u_1 = 1^1 = 1$. Par une récurrence immédiate, la suite $(u_n)$ est constante.

2. Cas $x > 1$.

La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $u_1 = x^1 = x > 1 = u_0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée, auquel cas sa limite est un point fixe de $g$.

Étudions $h(t) = g(t) - t = x^t - t$. Sa dérivée est $h'(t) = (\ln x) x^t - 1$. $h'(t) = 0 \iff x^t = \frac{1}{\ln x} \iff t \ln x = -\ln(\ln x) \iff t_0 = -\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}$.

Le minimum de $h$ est atteint en $t_0$ et vaut :

La fonction $g$ admet un point fixe si et seulement si ce minimum est négatif ou nul. $h(t_0) \leqslant 0 \iff 1 + \ln(\ln x) \leqslant 0 \iff \ln x \leqslant e^{-1} \iff x \leqslant e^{1/e}$.

• Si $x > e^{1/e$ :} La fonction $h$ est strictement positive, donc $g(t) > t$ pour tout $t$. La suite $(u_n)$ étant croissante et sans point fixe, elle diverge vers $+\infty$.
• Si $1 < x \leqslant e^{1/e$ :} La fonction $h$ s'annule. Soit $\alpha$ le plus petit point fixe de $g$ (le plus petit zéro de $h$). Comme $u_0 = 1$ et $h(1) = x-1 > 0$, on montre par récurrence que $u_n \leqslant \alpha$. En effet, $u_0 = 1 \leqslant \alpha$ car $h(1) > 0$ et $h(\alpha) = 0$ avec $1 < \alpha$. Puis $u_n \leqslant \alpha \implies g(u_n) \leqslant g(\alpha) \implies u_{n+1} \leqslant \alpha$. La suite est croissante et majorée, donc elle converge vers $\alpha$.

3. Cas $0 < x < 1$.

Ici $g$ est strictement décroissante. La suite $(u_n)$ n'est pas monotone, mais les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ le sont (car $g \circ g$ est croissante). Comme $g$ est décroissante de $\mathbb{R}_+$ sur $]0, 1]$, $u_n \in [0, 1]$ pour tout $n \geqslant 1$. Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont bornées, donc elles convergent vers des points fixes de $g \circ g$.

L'étude montre que $g$ possède un unique point fixe $\ell \in ]0, 1[$. L'analyse de la stabilité de ce point fixe (via $|g'(\ell)|$) montre que :

• Si $x \geqslant (1/e)^e = e^{-e}$, alors $|g'(\ell)| \leqslant 1$ et la suite converge vers $\ell$.
• Si $x < e^{-e}$, les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers deux valeurs distinctes (cycle de période 2).

(Note : Le cas $x < 1$ est souvent traité plus sommairement en signalant simplement l'existence de l'unique point fixe $\ell$ pour $g$).