Continuité d'une série de fonctions à paramètre

Soit $\alpha$ un paramètre réel strictement positif. On considère la fonction $S$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par la somme de la série de fonctions suivante :

S(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x}{n^\alpha(1 + n x^2)}

Étudier la continuité de la fonction $S$ sur son domaine de définition en fonction des valeurs de $\alpha$ .

1.

Commencer par justifier la convergence simple de la série sur $\mathbb{R}_+$ .

2.

Pour la continuité sur $]0, +\infty[$ , on pourra chercher à montrer la convergence normale sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

3.

Pour la continuité en $0$ , on pourra étudier la convergence normale sur $[0, +\infty[$ en cherchant le maximum des fonctions $f_n$ .

4.

Si la convergence n'est pas normale en $0$ (cas $\alpha \le 1/2$ ), comparer la somme à une intégrale ou utiliser un changement de variable pour déterminer la limite de $S$ en $0^+$ .

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité globale.

•

Recherche d'extremum par dérivation pour la norme infinie.

•

Comparaison série-intégrale pour l'étude locale (limite en $0$ ).

1. Convergence simple et domaine de définition.

Soit $x \in \mathbb{R}_+$ . On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

f_n(x) = \frac{x}{n^\alpha(1 + n x^2)}

Si $x = 0$ , alors $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc $S(0) = 0$ .

Si $x > 0$ , on effectue un équivalent lorsque $n \to +\infty$ :

f_n(x) \sim \frac{x}{n^\alpha \cdot n x^2} = \frac{1}{x n^{\alpha+1}}

Comme $\alpha > 0$ , on a $\alpha + 1 > 1$ . D'après la règle de Riemann, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument.

\boxed{\text{La fonction } S \text{ est bien définie sur } \mathbb{R}_+.}

2. Continuité sur $]0, +\infty[$ .

Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a la majoration :

|f_n(x)| \le \frac{x}{n^\alpha(n x^2)} = \frac{1}{n^{\alpha+1} x} \le \frac{1}{a n^{\alpha+1}}

On pose $u_n = \frac{1}{a n^{\alpha+1}}$ . La série $\sum u_n$ est une série de Riemann convergente ( $\alpha+1 > 1$ ).

Ainsi, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur tout intervalle $[a, +\infty[$ (où $a > 0$ ).

Comme chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ , la somme $S$ est continue sur tout intervalle $[a, +\infty[$ .

\boxed{S \text{ est continue sur } ]0, +\infty[.}

3. Continuité en $x = 0$ .

Pour étudier la continuité en $0$ , cherchons si la série converge normalement sur $[0, +\infty[$ . La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et :

f_n'(x) = \frac{n^\alpha(1+nx^2) - x(n^\alpha \cdot 2nx)}{(n^\alpha(1+nx^2))^2} = \frac{n^\alpha(1 - nx^2)}{(n^\alpha(1+nx^2))^2}

Le maximum de $|f_n|$ sur $\mathbb{R}_+$ est atteint pour $1 - nx^2 = 0$ , soit $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ . On calcule alors la norme infinie :

\|f_n\|_\infty = f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{1/\sqrt{n}}{n^\alpha(1+1)} = \frac{1}{2 n^{\alpha + 1/2}}

La série $\sum \|f_n\|_\infty$ converge si et seulement si $\alpha + 1/2 > 1$ , c'est-à-dire $\alpha > 1/2$ .

Premier cas : $\alpha > 1/2$ . Il y a convergence normale sur $[0, +\infty[$ . Comme les $f_n$ sont continues en $0$ , $S$ est continue en $0$ .

Second cas : $\alpha \le 1/2$ . Supposons $\alpha \le 1/2$ et étudions la limite de $S(x)$ quand $x \to 0^+$ . Par comparaison série-intégrale (la fonction $t \mapsto \frac{x}{t^\alpha(1+tx^2)}$ étant décroissante pour $t$ assez grand), on a :

S(x) \sim \int_1^{+\infty} \frac{x}{t^\alpha(1+tx^2)}   dt

Effectuons le changement de variable $u = tx^2$ , d'où $dt = \frac{du}{x^2}$ :

\int_1^{+\infty} \frac{x}{t^\alpha(1+tx^2)}   dt = \int_{x^2}^{+\infty} \frac{x}{(u/x^2)^\alpha (1+u)} \frac{du}{x^2} = x^{2\alpha - 1} \int_{x^2}^{+\infty} \frac{u^{-\alpha}}{1+u}   du

$\bullet$ Si $\alpha = 1/2$ , alors $S(x) \sim \int_{x^2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{u}(1+u)} du \xrightarrow[x \to 0^+]{} \int_0^{+\infty} \frac{du}{\sqrt{u}(1+u)} = \pi$ . Comme $S(0) = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} S(x) = \pi \neq 0$ , $S$ est discontinue en $0$ .

$\bullet$ Si $\alpha < 1/2$ , alors $2\alpha - 1 < 0$ et l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{u^{-\alpha}}{1+u} du$ converge vers une constante $C > 0$ . On a alors $S(x) \sim C x^{2\alpha - 1} \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty$ . $S$ est discontinue en $0$ .

Conclusion :

\boxed{S \text{ est continue sur } \mathbb{R}_+ \iff \alpha > \frac{1}{2}}

Croire que la limite de la somme est la somme des limites sans convergence uniforme/normale.

La continuité d'une série de fonctions sur un intervalle fermé nécessite souvent l'étude de la convergence normale via la recherche d'extremums ( $||f_n||_\infty$ ).