Développement de 1/z en produit de q-analogues

Résolution.

1. Soit $z \in \mathbb{C}^*$. Notons $S_n = 1 + \sum_{k=1}^n z^k P_k(z)$. Remarquons la relation fondamentale entre $P_{k+1}$ et $P_k$ :
   $$P_{k+1}(z) = P_k(z)(1 - z^{k+1}) = P_k(z) - z^{k+1}P_k(z)$$
   On en déduit l'expression du terme de la somme :
   $$\boxed{ z^{k+1} P_k(z) = P_k(z) - P_{k+1}(z) }$$
   Il s'agit d'une forme télescopique. Sommons cette égalité pour $k$ allant de $1$ à $n$ :
   $$\sum_{k=1}^n z^{k+1} P_k(z) = \sum_{k=1}^n (P_k(z) - P_{k+1}(z)) = P_1(z) - P_{n+1}(z)$$
   Comme $P_1(z) = 1-z$, on obtient :
   $$z \sum_{k=1}^n z^k P_k(z) = 1 - z - P_{n+1}(z)$$
   En divisant par $z \neq 0$ et en ajoutant $1$ :
   $$1 + \sum_{k=1}^n z^k P_k(z) = 1 + \frac{1 - z - P_{n+1}(z)}{z} = \frac{z + 1 - z - P_{n+1}(z)}{z}$$
   On obtient bien :
   $$\boxed{ 1 + \sum_{k=1}^n z^k P_k(z) = \frac{1 - P_{n+1}(z)}{z} }$$

2. Si $z$ est une racine de l'unité, il existe un entier $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $z^p = 1$. Alors, pour tout $n \ge p$, le produit $P_n(z) = \prod_{k=1}^n (1-z^k)$ contient le facteur $(1-z^p) = 0$. Par conséquent, la suite $(P_n(z))_{n \in \mathbb{N}}$ est nulle à partir du rang $p$. En passant à la limite dans la relation de la question 1 :
   $$1 + \sum_{k=1}^{+\infty} z^k P_k(z) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - P_{n+1}(z)}{z} = \frac{1 - 0}{z} = \frac{1}{z}$$
   L'égalité $(*)$ est donc vérifiée pour toute racine de l'unité.

3. D'après la question 1, l'égalité $(*)$ est vérifiée si et seulement si :
   $$\lim_{n \to +\infty} P_n(z) = 0$$
   Étudions cette convergence selon les valeurs de $z$ : Cas $|z| < 1$ : La série $\sum z^k$ converge absolument. D'après le cours sur les produits infinis, comme la série $\sum |z^k|$ converge, le produit $\prod (1-z^k)$ converge vers une limite complexe $L$. De plus, cette limite $L$ est nulle si et seulement si l'un des facteurs est nul. Comme $|z| < 1$, on a $z^k \neq 1$ pour tout $k \ge 1$. Donc $L \neq 0$. Cas $|z| > 1$ : On a $|1 - z^k| \ge |z|^k - 1$. Comme $|z| > 1$, $|z|^k - 1 \to +\infty$. À partir d'un certain rang, $|1 - z^k| > 1$, donc la suite $(|P_n(z)|)$ est croissante et ne peut pas tendre vers $0$. Cas $|z| = 1$ : - Si $z$ est une racine de l'unité, on a vu que $P_n(z) \to 0$. - Si $z$ n'est pas une racine de l'unité, alors pour tout $k$, $1-z^k \neq 0$. Le produit $P_n(z)$ ne converge pas vers $0$. En effet, pour qu'un produit $\prod a_k$ converge vers $0$, il faut que la série des logarithmes diverge vers $-\infty$, ou que des termes soient nuls. Ici, $|1-z^k| = |1-e^{ik\theta}| = 2|\sin(k\theta/2)|$. Ce produit diverge (il n'a pas de limite nulle).

   Conclusion :

   $$\boxed{\text{L'égalité est vérifiée si et seulement si } z \text{ est une racine de l'unité.}}$$