Convergence d'une suite de fonctions gaussiennes

Pour tout entier naturel $n$ , on définit la fonction $u_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

u_n(x) = \frac{n + 2}{n + 1} e^{-n x^2}

Déterminer la limite simple de la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $\mathbb{R}$ .
La convergence est-elle uniforme sur $[0, +\infty[$ ?
Soit $a > 0$ . Étudier la convergence uniforme de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur l'intervalle $[a, +\infty[$ .

1.

Pour la convergence simple, distinguer le cas $x=0$ des cas $x \neq 0$ .

2.

Pour la convergence uniforme sur un intervalle contenant $0$ , examiner la continuité de la limite simple.

3.

Pour l'intervalle $[a, +\infty[$ , utiliser une majoration de $|u_n(x) - f(x)|$ indépendante de $x$ .

Idées clés

•

Étude de la limite ponctuelle (simple).

•

Lien entre continuité et convergence uniforme (théorème de la double limite ou contraposée).

•

Majoration uniforme pour prouver la convergence uniforme.

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Étudions la limite de $u_n(x)$ quand $n \to +\infty$ .

Premier cas : $x = 0$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a :

u_n(0) = \frac{n+2}{n+1} e^0 = \frac{n+2}{n+1}

Par passage à la limite :

\lim_{n \to +\infty} u_n(0) = 1

Second cas : $x \neq 0$ . Alors $x^2 > 0$ , donc $n x^2 \to +\infty$ . Par croissance comparée, l'exponentielle négative l'emporte :

\lim_{n \to +\infty} e^{-n x^2} = 0

Comme $\frac{n+2}{n+1} \to 1$ , on en déduit par produit :

\lim_{n \to +\infty} u_n(x) = 0

Ainsi, la suite $(u_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f$ définie par :

\boxed{f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 0 0 & \text{si } x \neq 0 \end{cases}}

2. Convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ .

Remarquons que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ (en tant que produit et composée de fonctions usuelles continues).

Cependant, nous avons montré à la question précédente que la limite simple $f$ est discontinue en $0$ .

D'après le cours, si une suite de fonctions continues converge uniformément sur un intervalle $I$ , alors sa limite simple doit être continue sur $I$ .

Par contraposée, la convergence de $(u_n)$ vers $f$ ne peut pas être uniforme sur $[0, +\infty[$ (ni sur tout intervalle contenant $0$ ).

\boxed{\text{La convergence n'est pas uniforme sur } [0, +\infty[}

3. Convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

Soit $a > 0$ . Sur l'intervalle $[a, +\infty[$ , la limite simple est la fonction nulle ( $f(x) = 0$ ).

Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a $x^2 \ge a^2$ , donc $-n x^2 \le -n a^2$ . Par croissance de la fonction exponentielle, il vient :

|u_n(x) - f(x)| = \frac{n+2}{n+1} e^{-n x^2} \le \frac{n+2}{n+1} e^{-n a^2}

Posons $\alpha_n = \frac{n+2}{n+1} e^{-n a^2}$ . Cette quantité ne dépend plus de $x$ . On observe que :

\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = 1 \cdot 0 = 0

On en déduit la borne supérieure :

\|u_n - f\|_{\infty, [a, +\infty[} = \sup_{x \in [a, +\infty[} |u_n(x)| \le \alpha_n

Comme $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = 0$ , par le théorème des gendarmes :

\lim_{n \to +\infty} \|u_n - f\|_{\infty, [a, +\infty[} = 0

\boxed{\text{La suite } (u_n) \text{ converge uniformément vers } 0 \text{ sur } [a, +\infty[}

Oublier d'étudier la continuité de la limite simple pour tester la convergence uniforme.

La discontinuité de la limite simple d'une suite de fonctions continues empêche la convergence uniforme sur tout intervalle contenant le point de discontinuité.