Étude d'une série de fonctions exponentielles

Résolution.

1. Soit $z \in \mathbb{C}$. Posons $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. Le module du terme général est :
   $$|u_n(z)| = \frac{|e^{na} e^{inb}|}{n^2} = \frac{e^{na}}{n^2}$$

   Cas 1 : Si $a > 0$, alors $e^{na} / n^2 \xrightarrow{n \to +\infty} +\infty$. La série diverge grossièrement. Cas 2 : Si $a \leqslant 0$, alors $|u_n(z)| \leqslant \frac{1}{n^2}$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ étant une série de Riemann convergente, la série $\sum u_n(z)$ converge absolument.

   $$\boxed{\sum |u_n(z)| \text{ converge } \iff \text{Re}(z) \leqslant 0}$$

2. Sur $\mathbb{R}_-$, on a $|u_n(x)| \leqslant \frac{1}{n^2}$. La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement, et donc uniformément, sur $\mathbb{R}_-$. Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}_-$, la somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}_-$. Pour la limite en $-\infty$, remarquons que pour tout $n \geqslant 1$ et $x \leqslant 0$ :
   $$0 \leqslant u_n(x) \leqslant \frac{e^x}{n^2}$$
   En sommant, on obtient $0 \leqslant f(x) \leqslant e^x \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$. Par encadrement, comme $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ :
   $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0}$$

3. Soit $k \in \mathbb{N}$. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ avec $u_n^{(k)}(x) = \frac{n^k e^{nx}}{n^2} = n^{k-2} e^{nx}$. Soit $a < 0$. Pour tout $x \in ]-\infty, a]$, on a $|u_n^{(k)}(x)| \leqslant n^{k-2} e^{na}$. Comme $n^{k-2} e^{na} = o(1/n^2)$ par croissance comparée (puisque $e^a < 1$), la série $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement sur $]-\infty, a]$. Le théorème de dérivation terme à terme s'applique à tout ordre sur tout intervalle $]-\infty, a]$, donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-\infty, 0[$.

4. Pour $x < 0$, on a :
   $$f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{nx} = \frac{e^x}{1 - e^x}$$
   Cherchons $f'$. En intégrant $f''$, il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que $f'(x) = -\ln(1 - e^x) + C$. Or, $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{nx}}{n}$. Par convergence normale sur $]-\infty, a]$, on a $\lim_{x \to -\infty} f'(x) = \sum \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{nx}}{n} = 0$. Comme $\lim_{x \to -\infty} -\ln(1 - e^x) = -\ln(1) = 0$, on en déduit $C = 0$. Ainsi :
   $$\boxed{f'(x) = -\ln(1 - e^x)}$$

   Pour exprimer $f$, on utilise le théorème fondamental de l'analyse. L'intégrale $\int_x^0 \ln(1-e^t) dt$ converge car au voisinage de $0$ :

   $$\ln(1 - e^t) = \ln(1 - (1 + t + o(t))) = \ln(-t + o(t)) \sim \ln(-t)$$
   La fonction $\ln$ est intégrable au voisinage de $0$. On a alors :
   $$f(0) - f(x) = \int_x^0 f'(t) dt = \int_x^0 -\ln(1 - e^t) dt$$
   D'où :
   $$\boxed{f(x) = f(0) + \int_x^0 \ln(1 - e^t) dt}$$

   Dérivabilité en 0 : On a $f'(x) = -\ln(1 - e^x)$. Lorsque $x \to 0^-$, $1 - e^x \to 0^+$, donc $\ln(1 - e^x) \to -\infty$. Par conséquent, $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = +\infty$. D'après le théorème de la limite de la dérivée, $f$ n'est pas dérivable en $0$ et sa courbe représentative y admet une demi-tangente verticale.