Régularité et équation différentielle d'une série

Résolution.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n : x \mapsto \frac{(-1)^n e^{-nx}}{1+n^2}$. Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$ et $x \geq 0$, on a :
   $$u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^n (-n)^k e^{-nx}}{1+n^2} = \frac{(-1)^{n+k} n^k e^{-nx}}{1+n^2}$$
   Fixons un réel $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a la majoration :
   $$|u_n^{(k)}(x)| \leq \frac{n^k e^{-na}}{1+n^2}$$
   Par croissance comparée, comme $a > 0$, on sait que $n^2 \cdot \frac{n^k e^{-na}}{1+n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Ainsi, la série $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ pour $a > 0$. D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathscr{C}^k$ sur tout intervalle $[a, +\infty[$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Par conséquent, $f$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur l'intervalle ouvert $]0, +\infty[$.
   $$\boxed{ f \in \mathscr{C}^\infty(]0, +\infty[, \mathbb{R}) }$$

2. Soit $x > 0$. Puisque l'on peut dériver terme à terme deux fois, calculons $f''(x)$ :
   $$f''(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n n^2 e^{-nx}}{1+n^2}$$
   En ajoutant $f(x)$ à cette expression, nous pouvons simplifier le terme général :
   $$f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n n^2 e^{-nx} + (-1)^n e^{-nx}}{1+n^2}$$
   On factorise par $(-1)^n e^{-nx}$ au numérateur :
   $$f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (n^2+1) e^{-nx}}{1+n^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-e^{-x})^n$$
   On reconnaît la somme d'une série géométrique de raison $q = -e^{-x}$. Puisque $x > 0$, on a $0 < e^{-x} < 1$, donc $|q| < 1$. La somme vaut alors :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} (-e^{-x})^n = \frac{1}{1 - (-e^{-x})} = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$
   Finalement, $f$ est solution sur $]0, +\infty[$ de l'équation différentielle suivante :
   $$\boxed{ y'' + y = \frac{1}{1 + e^{-x}} }$$