Étude d'antécédents pour une suite d'intégrales

Résolution.

1. Convergence de la suite $(f_n)$. Soit $t \in \mathbb{R}_+$. On distingue trois cas :
   • Si $0 \leqslant t < 1$, alors $t^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, donc $f_n(t) \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^t$.
   • Si $t = 1$, alors $f_n(1) = \frac{e}{2}$ pour tout $n \geqslant 1$.
   • Si $t > 1$, alors $t^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, donc $f_n(t) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
   La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction $f$ définie par :
   $$\boxed{ f(t) = \begin{cases} e^t & \text{si } 0 \leqslant t < 1$$
   e/2 & \text{si } t = 1
   0 & \text{si } t > 1 \end{cases} }
   La limite simple $f$ est discontinue en $t=1$. Or, chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+$. Par contraposée du théorème de conservation de la continuité, la convergence ne peut pas être uniforme sur tout intervalle contenant $1$, et donc pas sur $\mathbb{R}_+$.

2. Existence et unicité de $x_n(\alpha)$. La fonction $f_n$ est continue et strictement positive sur $[0, +\infty[$. Par conséquent, sa primitive $\varphi_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. On a $\varphi_n(0) = 0$. Étudions la limite en $+\infty$. Pour $t \in [0, 1]$, $f_n(t) \geqslant \frac{1}{2}$, donc :
   $$\varphi_n(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} \int_0^{+\infty} f_n(t)   \mathrm{d}t$$
   Pour $n=1$, $f_1(t) = \frac{e^t}{1+t} \sim \frac{e^t}{t}$ au voisinage de $+\infty$, donc l'intégrale diverge. Pour $n \geqslant 1$, on a $f_n(t) \sim \frac{e^t}{t^n}$ qui diverge également par croissances comparées. Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} \varphi_n(x) = +\infty$. D'après le théorème de la bijection, $\varphi_n$ réalise une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$. Pour tout $\alpha > 0$, il existe donc un unique $\boxed{ x_n(\alpha) \in ]0, +\infty[ }$ tel que $\varphi_n(x_n(\alpha)) = \alpha$.

3. Étude du cas $\alpha > e - 1$. Notons $x_n$ pour $x_n(\alpha)$. On remarque que pour tout $t \in [0, 1]$, $f_n(t) \leqslant e^t$. On a $\varphi_n(1) = \int_0^1 f_n(t)   \mathrm{d}t \leqslant \int_0^1 e^t   \mathrm{d}t = e-1$. Puisque $\alpha > e-1$, on a $\varphi_n(x_n) > \varphi_n(1)$, ce qui implique $x_n > 1$ par croissance de $\varphi_n$. Supposons par l'absurde que la suite $(x_n)$ ne tende pas vers $+\infty$. Comme elle est minorée par 1, il existerait une sous-suite $(x_{\sigma(n)})$ bornée par un réel $M > 1$. Alors $\alpha = \int_0^{x_{\sigma(n)}} f_{\sigma(n)}(t)   \mathrm{d}t = \int_0^M f_{\sigma(n)}(t) \mathbf{1}_{[0, x_{\sigma(n)}]}(t)   \mathrm{d}t$. Posons $g_n(t) = f_{\sigma(n)}(t) \mathbf{1}_{[0, x_{\sigma(n)}]}(t)$. On a $|g_n(t)| \leqslant e^t$ (intégrable sur $[0, M]$). Par convergence simple (sauf éventuellement en un nombre fini de points), $g_n(t) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(t) \mathbf{1}_{[0, \ell]}(t)$ où $\ell$ est une valeur d'adhérence. Par le TCD, $\alpha = \lim \int_0^M g_n(t)   \mathrm{d}t = \int_0^1 e^t   \mathrm{d}t = e-1$. Ceci contredit l'hypothèse $\alpha > e-1$. On en déduit que :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} x_n(\alpha) = +\infty }$$

4. Étude du cas $\alpha < e - 1$. Ici, $\varphi_n(x_n) = \alpha < e-1$. Or $\varphi_n(1) = \int_0^1 \frac{e^t}{1+t^n}   \mathrm{d}t$. Par convergence dominée sur $[0, 1]$, $\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(1) = \int_0^1 e^t   \mathrm{d}t = e-1$. Ainsi, pour $n$ assez grand, $\varphi_n(1) > \alpha$, donc $x_n < 1$. La suite $(x_n)$ est donc bornée par 1 pour $n$ assez grand. Soit $\ell$ une valeur d'adhérence de $(x_n)$. En utilisant à nouveau le TCD sur l'intervalle $[0, 1]$ avec $h_n(t) = f_n(t) \mathbf{1}_{[0, x_n]}(t)$ :
   $$\alpha = \int_0^1 h_n(t)   \mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^\ell e^t   \mathrm{d}t = e^\ell - 1$$
   On en tire $e^\ell = \alpha + 1$, soit $\ell = \ln(1 + \alpha)$. Puisque la valeur d'adhérence est unique dans le compact $[0, 1]$, la suite converge :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} x_n(\alpha) = \ln(1 + \alpha) }$$