Convergence d'une suite de fonctions puissances

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = n x e^{-x^2 \ln(n)}

Déterminer l'ensemble de définition de la limite simple de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ sur $[0, +\infty[$ . Préciser la fonction limite, notée $f$ .
Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ sur l'intervalle $[1, +\infty[$ .
Soit $a > 1$ . La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge-t-elle uniformément sur $[a, +\infty[$ ?

1.

Réécrire $f_n(x)$ sous la forme $x n^{\alpha(x)}$ pour identifier plus facilement la limite simple selon les valeurs de $x$ .

2.

Pour la convergence uniforme sur $[1, +\infty[$ , examiner la continuité de la limite simple ou utiliser un argument d'interversion de limites en $1^+$ .

3.

Pour l'étude sur $[a, +\infty[$ , étudier les variations de $f_n$ pour déterminer la borne supérieure de $|f_n - f|$ .

Idées clés

•

Transformation de l'expression : $f_n(x) = x n^{1-x^2}$ .

•

Lien entre convergence uniforme et continuité de la limite.

•

Utilisation de la monotonie pour le calcul de la norme infinie.

1. Étude de la convergence simple sur $[0, +\infty[$ .

Pour $x \geqslant 0$ , nous pouvons réécrire l'expression de $f_n(x)$ :

f_n(x) = n x \exp(-x^2 \ln n) = x n^1 n^{-x^2} = x n^{1-x^2}

Distinguons plusieurs cas selon la valeur de $1-x^2$ :

Si $x = 0$ , $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc la suite converge vers $0$ .
Si $0 < x < 1$ , alors $1-x^2 > 0$ . Par croissance comparée, $n^{1-x^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ . La suite diverge donc vers $+\infty$ .
Si $x = 1$ , $f_n(1) = 1 \cdot n^0 = 1$ . La suite est constante et converge vers $1$ .
Si $x > 1$ , alors $1-x^2 < 0$ . On pose $\epsilon = x^2 - 1 > 0$ . On a alors $f_n(x) = \frac{x}{n^\epsilon} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

L'ensemble de convergence simple sur $[0, +\infty[$ est donc $\{0\} \cup [1, +\infty[$ . La limite simple $f$ est définie sur $[1, +\infty[$ par :

\boxed{ \forall x \in [1, +\infty[,   f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 1 0 & \text{si } x > 1 \end{cases} }

2. Convergence uniforme sur $[1, +\infty[$ .

Observons la limite simple $f$ obtenue à la question précédente sur $D = [1, +\infty[$ . Les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $D$ .

Cependant, la fonction limite $f$ n'est pas continue en $1$ puisque :

\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0   \text{et}   f(1) = 1

D'après le théorème de conservation de la continuité, si la convergence était uniforme sur $[1, +\infty[$ , la limite $f$ serait continue sur cet intervalle.

Par conséquent, la suite $(f_n)$ \boxed{\text{ne converge pas uniformément sur } [1, +\infty[}.

3. Convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ avec $a > 1$ .

Sur cet intervalle, la limite simple est la fonction nulle ( $f = 0$ ). Étudions la régularité et les variations de $f_n$ pour $n \geqslant 2$ . La fonction $f_n$ est dérivable sur $[a, +\infty[$ et :

f_n'(x) = n^{1-x^2} + x \cdot (-2x \ln n) n^{1-x^2} = n^{1-x^2} (1 - 2x^2 \ln n)

Pour $n \geqslant 2$ , on a $\ln n \geqslant \ln 2$ . Comme $x \geqslant a > 1$ , on a :

2x^2 \ln n \geqslant 2 \ln 2 \approx 1,38 > 1

Ainsi, $1 - 2x^2 \ln n < 0$ , ce qui implique que $f_n$ est strictement décroissante sur $[a, +\infty[$ . Comme $f_n$ est positive, nous avons :

\|f_n - f\|_{\infty, [a, +\infty[} = \sup_{x \in [a, +\infty[} |f_n(x)| = f_n(a)

Or, d'après l'étude de la convergence simple, nous savons que :

\lim_{n \to +\infty} f_n(a) = 0   (\text{car } a > 1)

On en conclut que la suite $(f_n)$ \boxed{\text{converge uniformément vers 0 sur } [a, +\infty[}.

Confondre convergence uniforme sur tout segment et convergence uniforme sur l'intervalle ouvert.

La non-continuité de la limite simple impose la non-convergence uniforme sur tout intervalle contenant le point de discontinuité.