Domaine de convergence d'une série trigonométrique

On considère la série de fonctions de la variable réelle définie par :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(nx)x^n

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ , c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ pour lesquels la série numérique $\sum \sin(nx)x^n$ converge.

1.

Pour $|x| < 1$ , utiliser une majoration par une série géométrique convergente.

2.

Pour les valeurs de $x$ telles que $\sin(x) = 0$ , identifier la nature de la série.

3.

Pour $|x| \geq 1$ avec $\sin(x) \neq 0$ , raisonner par l'absurde en supposant que le terme général de la série tend vers $0$ . Utiliser les formules d'addition trigonométriques pour aboutir à une contradiction.

Idées clés

•

Condition nécessaire de convergence d'une série ( $\lim u_n = 0$ ).

•

Convergence absolue (majoration par une série géométrique).

•

Identités trigonométriques pour l'étude de la limite de $\sin(nx)$ .

Résolution.

Notons $u_n(x) = \sin(nx)x^n$ le terme général de la série pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ .

Cas où $|x| < 1$ : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$ , on a la majoration classique $|\sin(nx)| \leq 1$ . On en déduit : $|u_n(x)| \leq |x|^n$ Comme $|x| < 1$ , la série géométrique $\sum |x|^n$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n(x)$ est absolument convergente, donc convergente.
Cas où $x$ est un multiple de $\pi$ : Supposons qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = k\pi$ . Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $nx = nk\pi$ , d'où $\sin(nx) = 0$ . Le terme général $u_n(x)$ est donc constamment nul, ce qui assure la convergence de la série (sa somme est nulle).
Cas où $|x| \geq 1$ et $x \notin \pi\mathbb{Z$ $x \in / π Z$ :} Raisonnons par l'absurde en supposant que la série $\sum u_n(x)$ converge. D'après la condition nécessaire de convergence, la suite $(u_n(x))$ doit tendre vers $0$ . Puisque $|x| \geq 1$ , on a : $|u_n(x)| = |\sin(nx)| \cdot |x|^n \geq |\sin(nx)|$ Ainsi, la convergence de $(u_n(x))$ vers $0$ implique nécessairement que : $\lim_{n \to +\infty} \sin(nx) = 0$ Utilisons maintenant la formule d'addition du sinus : $\forall n \in \mathbb{N}, \sin((n+1)x) = \sin(nx)\cos(x) + \cos(nx)\sin(x)$ Par passage à la limite dans cette égalité, comme $\sin(nx) \to 0$ et $\sin((n+1)x) \to 0$ , on obtient : $\lim_{n \to +\infty} \cos(nx)\sin(x) = 0$ Or, nous avons supposé $x \notin \pi\mathbb{Z}$ , donc $\sin(x) \neq 0$ . On en déduit que : $\lim_{n \to +\infty} \cos(nx) = 0$ Enfin, en utilisant la relation pythagoricienne $\sin^2(nx) + \cos^2(nx) = 1$ , le passage à la limite donne : $0^2 + 0^2 = 1$ Cette contradiction prouve que la suite $(u_n(x))$ ne tend pas vers $0$ . La série diverge donc grossièrement.

Conclusion :

L'ensemble de définition $D$ de la fonction $f$ est la réunion de l'intervalle ouvert $]-1, 1[$ et de l'ensemble des multiples de $\pi$ .

\boxed{D = ]-1, 1[ \cup \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}}

Oublier les points isolés où le sinus s'annule pour |x| >= 1.

Utiliser cos^2 + sin^2 = 1 pour prouver que sin(nx) ne tend pas vers 0 si x n'est pas multiple de pi.