Asymptotique d'une série de Riemann

Soit $x$ un réel strictement positif. On considère la série de fonctions définie par :

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}}

Déterminer la limite de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. Interpréter le résultat à l'aide de la fonction $\zeta$ de Riemann au voisinage de $1$ .
On pose $T(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}}$ . Calculer la limite de $T(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . En déduire un équivalent de $\zeta(s) - 1$ lorsque $s \to +\infty$ .

1.

Pour chaque question, utiliser une comparaison entre la série et une intégrale de la fonction $t \mapsto \frac{x}{t^{x+1}}$ .

2.

Justifier soigneusement la décroissance de la fonction avant d'encadrer la somme partielle ou le reste.

3.

La fonction $\zeta$ de Riemann est définie pour $s > 1$ par $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$ . On pourra poser $s = x+1$ .

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour des fonctions monotones.

•

Encadrement par des intégrales impropres convergentes.

•

Lien entre la série proposée et la fonction $\zeta$ de Riemann.

1. Étude de la limite en $0^+$ .

Soit $x > 0$ . On considère la fonction $f_x : t \in [1, +\infty[ \mapsto \frac{x}{t^{x+1}}$ . La fonction $f_x$ est continue, positive et dérivable sur $[1, +\infty[$ . Sa dérivée est donnée par :

f_x'(t) = x \cdot (-(x+1)) \cdot t^{-(x+2)} = - \frac{x(x+1)}{t^{x+2}}

Puisque $x > 0$ et $t \ge 1$ , on a $f_x'(t) < 0$ , donc $f_x$ est strictement décroissante. Par comparaison série-intégrale, pour tout entier $n \ge 1$ :

\int_{n}^{n+1} \frac{x}{t^{x+1}}   dt \le \frac{x}{n^{x+1}} \le \int_{n-1}^{n} \frac{x}{t^{x+1}}   dt

En sommant l'inégalité de gauche pour $n$ allant de $1$ à $+\infty$ , on obtient :

\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt \le \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}}

L'intégrale se calcule explicitement :

\int_{1}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt = \left[ - \frac{1}{t^x} \right]_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1

Pour la majoration, on isole le premier terme de la somme :

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}} = x + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}} \le x + \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt = x + 1

On obtient ainsi l'encadrement suivant pour tout $x > 0$ :

\boxed{ 1 \le S(x) \le 1 + x }

D'après le théorème des gendarmes, on conclut :

\boxed{ \lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}} = 1 }

Lien avec la fonction $\zeta$ : En posant $s = x+1$ , on a $x = s-1$ . La limite précédente s'écrit $\lim_{s \to 1^+} (s-1)\zeta(s) = 1$ . Cela fournit l'équivalent classique :

\boxed{ \zeta(s) \underset{s \to 1^+}{\sim} \frac{1}{s-1} }

2. Étude de la limite en $+\infty$ .

On s'intéresse maintenant à $T(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}}$ . En utilisant à nouveau la décroissance de $f_x$ , on encadre la somme à partir de $n=2$ :

\int_{2}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt \le \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}} \le \frac{x}{2^{x+1}} + \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt

On calcule l'intégrale impropre :

\int_{2}^{+\infty} \frac{x}{t^{x+1}}   dt = \left[ - \frac{1}{t^x} \right]_2^{+\infty} = \frac{1}{2^x}

L'encadrement devient :

\boxed{ \frac{1}{2^x} \le T(x) \le \frac{1}{2^x} + \frac{x}{2^{x+1}} }

Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2^x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2^{x+1}} = 0$ (par croissances comparées), on en déduit par encadrement :

\boxed{ \lim_{x \to +\infty} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x}{n^{x+1}} = 0 }

Conséquence pour $\zeta$ : On a $T(x) = x \left( \zeta(x+1) - 1 \right)$ . Le résultat précédent montre que :

\zeta(x+1) - 1 = o\left(\frac{1}{x}\right) \text{ quand } x \to +\infty

Oubli de la vérification de la monotonie de la fonction avant comparaison.

Comparaison série-intégrale pour les comportements asymptotiques.