Convergence d'une suite de fonctions trigonométriques

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
   • Si $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[$, alors $0 \le \sin(t) < 1$. La suite $(\sin^n(t))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison strictement inférieure à $1$. Par croissances comparées, on a :
     $$\lim_{n \to +\infty} n \sin^n(t) = 0$$
     On en déduit que $\lim_{n \to +\infty} f_n(t) = 0$.
   • Si $t = \frac{\pi}{2}$, alors $\cos(t) = 0$. On a donc $f_n(\frac{\pi}{2}) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite converge donc également vers $0$.
   La suite $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers la fonction nulle $\tilde{0}$.
   $$\boxed{ f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{S} \tilde{0} }$$

2. Convergence uniforme : Pour savoir si la convergence est uniforme, nous devons étudier la limite de $\|f_n - \tilde{0}\|_\infty = \sup_{t \in I} |f_n(t)|$. La fonction $f_n$ est dérivable sur $I$. Pour tout $t \in I$ :
   $$f_n'(t) = n \left( -\sin(t) \cdot \sin^n(t) + \cos(t) \cdot n \cos(t) \sin^{n-1}(t) \right)$$
   $$f_n'(t) = n \sin^{n-1}(t) \left( n \cos^2(t) - \sin^2(t) \right)$$
   $$f_n'(t) = n \sin^{n-1}(t) \left( n(1 - \sin^2(t)) - \sin^2(t) \right) = n \sin^{n-1}(t) \left( n - (n+1) \sin^2(t) \right)$$
   La dérivée s'annule sur $]0, \pi/2[$ lorsque $\sin^2(t) = \frac{n}{n+1}$. Soit $t_n$ cet unique point. À ce point $t_n$, on a :
   $$\sin(t_n) = \sqrt{\frac{n}{n+1}}   \text{et}   \cos(t_n) = \sqrt{1 - \frac{n}{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
   Calculons la valeur du maximum $M_n = f_n(t_n)$ :
   $$M_n = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot \left( \sqrt{\frac{n}{n+1}} \right)^n = \frac{n}{\sqrt{n+1}} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n/2}$$
   Étudions la limite de $M_n$ lorsque $n \to +\infty$ :
   $$\ln \left[ \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n/2} \right] = \frac{n}{2} \ln \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \sim \frac{n}{2} \left( -\frac{1}{n+1} \right) \to -\frac{1}{2}$$
   Ainsi, $\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n/2} \to e^{-1/2}$. Comme $\frac{n}{\sqrt{n+1}} \sim \sqrt{n}$, on obtient :
   $$\boxed{ \|f_n\|_\infty \sim \sqrt{\frac{n}{e}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty }$$
   La norme infinie ne tend pas vers $0$, donc la suite ne converge pas uniformément vers la fonction nulle. Remarque alternative (Intégration) : On peut aussi calculer l'intégrale de $f_n$ sur $I$ :
   $$\int_0^{\pi/2} f_n(t)   dt = \int_0^{\pi/2} n \cos(t) \sin^n(t)   dt = \left[ \frac{n}{n+1} \sin^{n+1}(t) \right]_0^{\pi/2} = \frac{n}{n+1}$$
   Si la convergence était uniforme sur le segment $I$, on aurait d'après le théorème d'interversion :
   $$\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\pi/2} f_n(t)   dt = \int_0^{\pi/2} \lim_{n \to +\infty} f_n(t)   dt = \int_0^{\pi/2} 0   dt = 0$$
   Or, $\frac{n}{n+1} \to 1 \neq 0$. La convergence n'est donc pas uniforme.