Propriétés d'une fonction de type Weierstrass

Résolution.

1. La fonction $g$ est la distance à l'ensemble $\mathbb{Z}$. En effet, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) = \min_{k \in \mathbb{Z}} |x - k|$. D'après l'inégalité triangulaire renversée, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :
   $$|y - k| \leqslant |y - x| + |x - k|$$
   En passant à l'infimum sur $k \in \mathbb{Z}$, on obtient $g(y) \leqslant |y - x| + g(x)$, ce qui se réécrit :
   $$\boxed{g(y) - g(x) \geqslant -|y - x|}$$
   On montre de même $g(x) - g(y) \geqslant -|y - x|$, d'où $|g(x) - g(y)| \leqslant |y - x|$. La fonction $g$ est donc $1$-lipschitzienne.

2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $g_n$ est continue par composition. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|g(x)| \leqslant \frac{1}{2}$. On en déduit :
   $$\forall n \in \mathbb{N},   \|g_n\|_{\infty} \leqslant \frac{1}{2 \ell^n}$$
   Comme $\ell \geqslant 2$, la série géométrique $\sum \frac{1}{\ell^n}$ converge. La série de fonctions $\sum g_n$ converge donc normalement, et a fortiori uniformément sur $\mathbb{R}$. Chaque $g_n$ étant continue, la somme $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

3. Par hypothèse, $\ell^m a$ est un entier, donc pour tout $n \geqslant m$, $\ell^n a = \ell^{n-m}(\ell^m a)$ est aussi un entier. Comme $g$ s'annule sur $\mathbb{Z}$, on a $g_n(a) = 0$ pour tout $n \geqslant m$. De même, pour $n \geqslant 2m+1$, $\ell^n(a+h) = \ell^n a + \ell^n h = \ell^n a \pm \ell^{n-(2m+1)}$ est un entier car $n \geqslant 2m+1$. Ainsi, $g_n(a+h) = 0$ pour tout $n \geqslant 2m+1$. On décompose alors la différence :
   $$f(a+h) - f(a) = \sum_{n=0}^{m-1} \left( g_n(a+h) - g_n(a) \right) + \sum_{n=m}^{2m} g_n(a+h)$$
   D'une part, pour $n < m$, comme $g$ est $1$-lipschitzienne :
   $$g_n(a+h) - g_n(a) = \frac{g(\ell^n(a+h)) - g(\ell^n a)}{\ell^n} \geqslant -\frac{|\ell^n h|}{\ell^n} = -|h|$$
   D'autre part, pour $m \leqslant n \leqslant 2m$, on a $\ell^n a \in \mathbb{Z}$ et $|\ell^n h| = \ell^{n-2m-1} \leqslant \ell^{-1} \leqslant \frac{1}{2}$. Donc $g(\ell^n(a+h)) = g(\ell^n a + \ell^n h) = g(\ell^n h) = |\ell^n h|$. On obtient :
   $$g_n(a+h) = \frac{|\ell^n h|}{\ell^n} = |h|$$
   En sommant ces deux contributions :
   $$f(a+h) - f(a) \geqslant \sum_{n=0}^{m-1} (-|h|) + \sum_{n=m}^{2m} |h| = -m|h| + (m+1)|h|$$
   $$\boxed{f(a+h) - f(a) \geqslant |h|}$$

4. Supposons par l'absurde que $f$ est monotone sur un segment $[x, y]$. Par densité, on peut trouver $m$ assez grand et $a$ de la forme $p/\ell^m$ dans l'intérieur de $[x, y]$. Posons $h = \ell^{-2m-1}$ et $h' = -h$. Pour $m$ assez grand, $a+h$ et $a+h'$ appartiennent à $[x, y]$. La question précédente montre que $f(a+h) - f(a) \geqslant h > 0$ et $f(a+h') - f(a) \geqslant |h'| > 0$. On a donc $f(a+h) > f(a)$ et $f(a+h') > f(a)$. Ceci contredit la monotonie de $f$ sur $[a+h', a+h]$.

5. Puisque la série $\sum g_n$ converge uniformément sur le segment $[u, u+k]$, on peut intervertir les symboles somme et intégrale :
   $$I = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_u^{u+k} \frac{g(\ell^n t)}{\ell^n}   \mathrm{d}t$$
   Par le changement de variable $v = \ell^n t$ ($\mathrm{d}v = \ell^n \mathrm{d}t$) :
   $$\int_u^{u+k} \frac{g(\ell^n t)}{\ell^n}   \mathrm{d}t = \frac{1}{\ell^{2n}} \int_{\ell^n u}^{\ell^n u + \ell^n k} g(v)   \mathrm{d}v$$
   La fonction $g$ étant $1$-périodique et l'intervalle d'intégration étant de longueur $\ell^n k \in \mathbb{N}$, l'intégrale sur cet intervalle vaut $\ell^n k$ fois l'intégrale sur une période :
   $$\int_{\ell^n u}^{\ell^n u + \ell^n k} g(v)   \mathrm{d}v = \ell^n k \int_0^1 g(v)   \mathrm{d}v$$
   L'intégrale de $g$ sur $[0, 1]$ est : $\int_0^1 g = 2 \int_0^{1/2} v   \mathrm{d}v = 2 \left[ \frac{v^2}{2} \right]_0^{1/2} = \frac{1}{4}$. Ainsi :
   $$I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\ell^n k}{4 \ell^{2n}} = \frac{k}{4} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{\ell} \right)^n$$
   En utilisant la formule de la somme d'une série géométrique ($\ell > 1$) :
   $$\boxed{I = \frac{k \ell}{4(\ell - 1)}}$$