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Convergence d'une différence somme-intégrale

somme-intégraleconvergence uniformeEulermonotonieComparaison somme-intégraleInégalité de la moyenne

Pour tout entier n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on considère la fonction fnf_n définie pour x∈[0,1]x \in [0, 1] par :

fn(x)=∑k=1nxkk−∫1nxttdtf_n(x) = \sum_{k = 1}^n \frac{x^k}{k} - \int_1^n \frac{x^t}{t} \mathrm{d}t

  1. Montrer que la suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge simplement sur [0,1][0, 1].
  2. Montrer que la suite (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} converge uniformément sur [0,1][0, 1].

1.

Pour la convergence simple, étudier la monotonie et le signe de la suite (fn(x))(f_n(x)) en utilisant le caractère décroissant de la fonction t↦xttt \mapsto \frac{x^t}{t} pour x∈[0,1]x \in [0, 1].

2.

Pour la convergence uniforme, majorer l'écart ∣fn(x)−f(x)∣|f_n(x) - f(x)| par un terme indépendant de xx qui tend vers 00. On pourra remarquer que cet écart est le reste d'une série dont les termes sont contrôlables par une somme télescopique.

Idées clés

•

Comparaison somme-intégrale pour une fonction décroissante.

•

Monotonie d'une suite de fonctions.

•

Majoration uniforme du reste pour prouver la convergence uniforme.

1. Convergence simple sur [0,1][0, 1].

Soit x∈[0,1]x \in [0, 1]. On définit pour tout t∈[1,+∞[t \in [1, +\infty[ la fonction ϕx:t↦xtt\phi_x : t \mapsto \frac{x^t}{t}. La fonction ϕx\phi_x est de classe C1\mathscr{C}^1 sur [1,+∞[[1, +\infty[ et sa dérivée est donnée par :

∀t≥1,ϕx′(t)=xtln⁡(x)⋅t−xtt2=xt(tln⁡x−1)t2\forall t \ge 1,   \phi_x'(t) = \frac{x^t \ln(x) \cdot t - x^t}{t^2} = \frac{x^t(t \ln x - 1)}{t^2}

Comme x∈[0,1]x \in [0, 1], on a ln⁡x≤0\ln x \le 0, d'où tln⁡x−1≤−1<0t \ln x - 1 \le -1 < 0. Ainsi, la fonction ϕx\phi_x est positive et décroissante sur [1,+∞[[1, +\infty[.

Étudions la monotonie de (fn(x))(f_n(x)) : Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* :

fn+1(x)−fn(x)=xn+1n+1−∫nn+1xttdt=ϕx(n+1)−∫nn+1ϕx(t)dtf_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} - \int_n^{n+1} \frac{x^t}{t} \mathrm{d}t = \phi_x(n+1) - \int_n^{n+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t

Par décroissance de ϕx\phi_x sur [n,n+1][n, n+1], on a ϕx(n+1)≤ϕx(t)\phi_x(n+1) \le \phi_x(t) pour tout t∈[n,n+1]t \in [n, n+1]. En intégrant cette inégalité, on obtient ϕx(n+1)≤∫nn+1ϕx(t)dt\phi_x(n+1) \le \int_n^{n+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t. On en déduit :

fn+1(x)−fn(x)≤0\boxed{ f_{n+1}(x) - f_n(x) \le 0 }
La suite (fn(x))(f_n(x)) est donc décroissante.

Étudions le signe de fn(x)f_n(x) : En utilisant à nouveau la décroissance de ϕx\phi_x, pour tout k∈N∗k \in \mathbb{N}^* :

ϕx(k)≥∫kk+1ϕx(t)dt\phi_x(k) \ge \int_k^{k+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t
En sommant de k=1k=1 à nn, on obtient :
∑k=1nϕx(k)≥∫1n+1ϕx(t)dt=∫1nϕx(t)dt+∫nn+1ϕx(t)dt\sum_{k=1}^n \phi_x(k) \ge \int_1^{n+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t = \int_1^n \phi_x(t) \mathrm{d}t + \int_n^{n+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t
D'où :
fn(x)≥∫nn+1ϕx(t)dt≥0f_n(x) \ge \int_n^{n+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t \ge 0
La suite (fn(x))(f_n(x)) est décroissante et minorée par 00, donc elle converge simplement sur [0,1][0, 1]. On note ff sa limite.

2. Convergence uniforme sur [0,1][0, 1].

Notons Rn(x)=fn(x)−f(x)R_n(x) = f_n(x) - f(x) l'écart à la limite. Puisque la suite (fk(x))(f_k(x)) est décroissante vers f(x)f(x), on a pour tout nn :

fn(x)−f(x)=∑k=n∞(fk(x)−fk+1(x))=∑k=n∞(∫kk+1ϕx(t)dt−ϕx(k+1))f_n(x) - f(x) = \sum_{k=n}^\infty (f_k(x) - f_{k+1}(x)) = \sum_{k=n}^\infty \left( \int_k^{k+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t - \phi_x(k+1) \right)

D'après l'étude précédente, pour tout t∈[k,k+1]t \in [k, k+1], on a ϕx(k+1)≤ϕx(t)≤ϕx(k)\phi_x(k+1) \le \phi_x(t) \le \phi_x(k). Par conséquent :

0≤∫kk+1ϕx(t)dt−ϕx(k+1)≤ϕx(k)−ϕx(k+1)0 \le \int_k^{k+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t - \phi_x(k+1) \le \phi_x(k) - \phi_x(k+1)

En sommant ces inégalités de k=nk=n à NN :

0≤∑k=nN(∫kk+1ϕx(t)dt−ϕx(k+1))≤∑k=nN(ϕx(k)−ϕx(k+1))=ϕx(n)−ϕx(N+1)0 \le \sum_{k=n}^N \left( \int_k^{k+1} \phi_x(t) \mathrm{d}t - \phi_x(k+1) \right) \le \sum_{k=n}^N (\phi_x(k) - \phi_x(k+1)) = \phi_x(n) - \phi_x(N+1)

En faisant tendre NN vers +∞+\infty, comme ϕx(N+1)→0\phi_x(N+1) \to 0 (car x∈[0,1]x \in [0, 1] et N→∞N \to \infty), on obtient :

0≤fn(x)−f(x)≤ϕx(n)=xnn0 \le f_n(x) - f(x) \le \phi_x(n) = \frac{x^n}{n}

Comme pour tout x∈[0,1]x \in [0, 1], on a xn≤1x^n \le 1, il vient :

∀x∈[0,1],∣fn(x)−f(x)∣≤1n\forall x \in [0, 1],   |f_n(x) - f(x)| \le \frac{1}{n}

Ainsi, on a la majoration de la norme infinie :

∥fn−f∥∞≤1n→n→∞0\boxed{ \|f_n - f\|_\infty \le \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 }
La suite (fn)(f_n) converge donc uniformément sur [0,1][0, 1].

Confondre la divergence des termes séparés avec celle de la différence.

La différence entre une somme et une intégrale de fonction monotone est bornée par les valeurs aux bornes.