Limite d'une intégrale par convergence dominée

Résolution.

Considérons, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $f_n$ définie sur $[0, 1]$ par :

Posons $g(x) = 4x(1 - x) = 4x - 4x^2$. La fonction $g$ est dérivable sur $[0, 1]$ et sa dérivée est donnée par $g'(x) = 4 - 8x$.

On observe que $g'(x)$ s'annule en $x = \frac{1}{2}$. Le tableau de variations de $g$ sur $[0, 1]$ montre que $g$ croît de $0$ à $g(1/2) = 1$, puis décroît de $1$ à $0$.

Ainsi, pour tout $x \in [0, 1]$, on a $0 \leq g(x) \leq 1$. Plus précisément :

1. Étude de la convergence simple

Soit $x \in [0, 1]$. Étudions la limite de $f_n(x)$ quand $n \to +\infty$ :

• Si $x = \frac{1}{2}$, alors $f_n(x) = 1^n = 1$. La limite est $1$.
• Si $x \neq \frac{1}{2}$, alors $|g(x)| < 1$. Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} (g(x))^n = 0$.

La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement sur $[0, 1]$ vers la fonction $f$ définie par :

2. Application du théorème de convergence dominée

Vérifions les hypothèses sur le segment $[0, 1]$ :

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $[0, 1]$, donc continue par morceaux.
2. La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$, qui est continue par morceaux sur $[0, 1]$ (elle possède une unique discontinuité en $1/2$).
3. Hypothèse de domination : Comme établi précédemment, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in [0, 1]$, on a :
   $$\left| f_n(x) \right| = \left| g(x) \right|^n \leq 1^n = 1$$
   La fonction constante égale à $1$ est intégrable sur le segment $[0, 1]$.

D'après le théorème de convergence dominée, on peut intervertir la limite et l'intégrale :

Or, l'intégrale d'une fonction nulle sauf en un nombre fini de points est nulle :

On en conclut finalement :