Étude asymptotique d'une suite d'intégrales

Résolution.

1. Existence de $u_n$. Pour tout $x \in [0, n]$, le dénominateur $D_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k$ est une somme de termes positifs dont le premier est $1$. Ainsi, $D_n(x) \geq 1 > 0$, la fonction à intégrer est continue sur le segment $[0, n]$, donc $u_n$ est bien définie.

2. Limite de la suite $(u_n)$. Posons $f_n(x) = \frac{1}{\sum_{k=0}^n x^k} \mathbb{1}_{[0,n]}(x)$. Convergence simple : Si $x \in [0, 1[$, $\sum_{k=0}^n x^k \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{1-x}$, donc $f_n(x) \to 1-x$. Si $x = 1$, $f_n(1) = \frac{1}{n+1} \to 0$. Si $x > 1$, $\sum_{k=0}^n x^k \geq x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$, donc $f_n(x) \to 0$. La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f : x \mapsto (1-x) \mathbb{1}_{[0,1[}(x)$. Domination : Pour $x \in [0, 1]$, $f_n(x) \leq 1$. Pour $x > 1$ et $n \geq 2$, $f_n(x) \leq \frac{1}{1+x+x^2} \leq \frac{1}{x^2}$. La fonction $\phi(x) = \mathbb{1}_{[0,1]}(x) + \frac{1}{x^2}\mathbb{1}_{]1, +\infty[}(x)$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. Par le théorème de convergence dominée :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^{+\infty} f(x) dx = \int_0^1 (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$$

3. Monotonie. On remarque que pour tout $x \geq 0$, $f_{n+1}(x) \leq f_n(x)$ car on ajoute un terme positif au dénominateur.
   $$u_n - u_{n+1} = \int_0^n (f_n(x) - f_{n+1}(x)) dx - \int_n^{n+1} f_{n+1}(x) dx$$
   Sur $[0, 1]$, $f_n(x) - f_{n+1}(x) = \frac{x^{n+1}}{D_n(x)D_{n+1}(x)} \geq \frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}$. L'intégrale sur $[0, 1]$ est donc minorée par $\frac{1}{(n+1)(n+2)^2}$. Le second terme $\int_n^{n+1} f_{n+1}(x) dx$ est majoré par $f_{n+1}(n) = \frac{1}{\sum_{k=0}^{n+1} n^k} \approx \frac{1}{n^{n+1}}$. Pour $n$ assez grand, $\frac{1}{(n+1)(n+2)^2} > \frac{1}{n^{n+1}}$, donc $u_n - u_{n+1} > 0$. \boxed{\text{La suite } (u_n) \text{ est décroissante à partir d'un certain rang.}}

4. Équivalent de $u_n - 1/2$. On a $u_n - \frac{1}{2} = \int_0^1 (f_n(x) - (1-x)) dx + \int_1^n f_n(x) dx$. Soit $I_n = \int_0^1 \frac{x^{n+1}(1-x)}{1-x^{n+1}} dx$. Par le changement de variable $x^{n+1} = t$ :
   $$I_n = \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{t(1-t^{1/(n+1)})}{1-t} t^{-n/(n+1)} dt = \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{t^{1/(n+1)}(1-t^{1/(n+1)})}{1-t} dt$$
   Comme $1 - t^{1/(n+1)} \sim -\frac{\ln t}{n+1}$ au voisinage de $n \to \infty$, on montre (par convergence dominée sur l'intégrale restante) que :
   $$I_n \sim \frac{1}{(n+1)^2} \int_0^1 \frac{-\ln t}{1-t} dt = \frac{1}{n^2} \frac{\pi^2}{6}$$
   Soit $J_n = \int_1^n \frac{x-1}{x^{n+1}-1} dx$. Posons $x = 1/t$ :
   $$J_n = \int_{1/n}^1 \frac{1/t - 1}{1/t^{n+1} - 1} \frac{dt}{t^2} = \int_{1/n}^1 \frac{t^{n-2}(1-t)}{1-t^{n+1}} dt$$
   De même, par le changement $t^{n+1} = v$, on obtient $J_n \sim \frac{1}{n^2} \frac{\pi^2}{6}$. Finalement, $u_n - \frac{1}{2} = I_n + J_n + o(1/n^2)$, d'où :
   $$\boxed{u_n - \frac{1}{2} \sim \frac{\pi^2}{3n^2}}$$