Sommation d'intégrales de type Beta

Pour tout entier naturel $n$ , on définit l'intégrale suivante dépendant d'un paramètre réel $\alpha$ :

I_n(\alpha) = \int_0^1 t^n(1 - t)^{\alpha}   dt

Déterminer l'ensemble des valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite $(I_n(\alpha))_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie. Étudier ensuite la convergence de cette suite.
Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série $\sum_{n \geq 0} I_n(\alpha)$ converge.
Lorsque la série converge, calculer explicitement sa somme.

1.

Pour l'existence, examiner le comportement de l'intégrande au voisinage des bornes $0$ et $1$ .

2.

Pour la convergence de la suite, le théorème de convergence dominée est un outil efficace.

3.

Pour la série, exprimer la somme partielle sous forme d'une unique intégrale en utilisant la somme d'une progression géométrique, puis passer à la limite.

Idées clés

•

Critère d'intégrabilité des fonctions de Riemann.

•

Théorème de convergence dominée (TCD) pour les suites et les séries.

•

Sommation géométrique sous le signe intégral.

1. Existence et convergence de la suite $(I_n(\alpha))$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ . Posons $f_n(t) = t^n(1-t)^\alpha$ . La fonction $f_n$ est continue et positive sur l'intervalle $]0, 1[$ .

Au voisinage de $0$ , $f_n(t) \sim t^n$ . Comme $n \geq 0$ , il n'y a aucune condition d'intégrabilité en $0$ .

Au voisinage de $1$ , posons $u = 1-t$ . On a $f_n(t) \sim (1-t)^\alpha = u^\alpha$ . D'après les intégrales de Riemann, cette fonction est intégrable en $1$ si et seulement si $-\alpha < 1$ , soit $\alpha > -1$ .

\boxed{ D_I = ]-1, +\infty[ }

Soit $\alpha \in D_I$ . Pour tout $t \in ]0, 1[$ , $\lim_{n \to +\infty} t^n(1-t)^\alpha = 0$ car $t \in [0, 1[$ . De plus, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in ]0, 1[$ , on a la domination :

|f_n(t)| \leq (1-t)^\alpha

La fonction $t \mapsto (1-t)^\alpha$ est intégrable sur $]0, 1[$ puisque $\alpha > -1$ . D'après le théorème de convergence dominée, on peut intervertir limite et intégrale :

\lim_{n \to +\infty} I_n(\alpha) = \int_0^1 0   dt = 0

\boxed{ \text{La suite } (I_n(\alpha)) \text{ converge vers } 0 \text{ pour tout } \alpha > -1. }

2. Convergence de la série $\sum I_n(\alpha)$ .

Si $\alpha \leq 0$ , alors pour tout $t \in ]0, 1[$ , $(1-t)^\alpha \geq 1$ . Ainsi, $I_n(\alpha) \geq \int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}$ . La série $\sum \frac{1}{n+1}$ diverge, donc par comparaison de séries à termes positifs, $\sum I_n(\alpha)$ diverge.

Supposons désormais $\alpha > 0$ . Étudions la somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^N I_n(\alpha)$ . Par linéarité :

S_N = \int_0^1 \sum_{n=0}^N t^n(1-t)^\alpha   dt = \int_0^1 \frac{1-t^{N+1}}{1-t}(1-t)^\alpha   dt

On simplifie l'expression :

S_N = \int_0^1 (1-t^{N+1})(1-t)^{\alpha-1}   dt

Posons $g_N(t) = (1-t^{N+1})(1-t)^{\alpha-1}$ .

Pour tout $t \in ]0, 1[$ , $\lim_{N \to +\infty} g_N(t) = (1-t)^{\alpha-1}$ .
On a la domination $|g_N(t)| \leq (1-t)^{\alpha-1}$ pour tout $N$ .

La fonction $t \mapsto (1-t)^{\alpha-1}$ est intégrable sur $]0, 1[$ si et seulement si $-(\alpha-1) < 1$ , soit $\alpha > 0$ . Sous cette condition, le TCD s'applique et garantit la convergence de $S_N$ .

\boxed{ \text{La série converge si et seulement si } \alpha > 0. }

3. Calcul de la somme.

D'après ce qui précède, pour $\alpha > 0$ :

\sum_{n=0}^{+\infty} I_n(\alpha) = \int_0^1 (1-t)^{\alpha-1}   dt

On effectue le calcul de l'intégrale :

\int_0^1 (1-t)^{\alpha-1}   dt = \left[ -\frac{(1-t)^\alpha}{\alpha} \right]_0^1

Comme $\alpha > 0$ , la limite en $1$ de $(1-t)^\alpha$ est nulle. On obtient alors :

\sum_{n=0}^{+\infty} I_n(\alpha) = 0 - \left( -\frac{1}{\alpha} \right) = \frac{1}{\alpha}

\boxed{ \forall \alpha > 0,   \sum_{n=0}^{+\infty} I_n(\alpha) = \frac{1}{\alpha} }

Oublier d'étudier l'intégrabilité de la limite simple lors de la sommation.

Utiliser le TCD sur les sommes partielles pour justifier l'interversion série-intégrale.