Identité remarquable sur des séries de logarithmes

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour que $S_3(x)$ soit défini, il faut $1 - x^{2n-1} > 0$ pour tout $n \geq 1$. Pour $n=1$, cela impose $1-x > 0$, soit $x < 1$. Si $|x| < 1$, alors $x^{2n} \to 0$ et $x^{2n-1} \to 0$. On a alors les équivalents : $\ln(1+x^{2n}) \sim x^{2n}$ et $|\ln(1 \pm x^{2n-1})| \sim |x|^{2n-1}$. Ce sont les termes généraux de séries géométriques convergentes car $|x| < 1$. Si $|x| \geq 1$, le terme général ne tend pas vers $0$ (divergence grossière) ou la fonction n'est pas définie. On en déduit :
   $$\boxed{\mathcal{D} = ]-1, 1[}$$

2. Étude numérique.
   1. On peut définir une fonction recevant $x$ et le nombre de termes $N$. \begin{verbatim} import math def S_totale(x, N): s1 = sum(math.log(1 + x**(2*k)) for k in range(1, N+1)) s2 = sum(math.log(1 + x**(2*k-1)) for k in range(1, N+1)) s3 = sum(math.log(1 - x**(2*k-1)) for k in range(1, N+1)) return s1 + s2 + s3 \end{verbatim}
   2. En testant pour diverses valeurs, on remarque que la somme est extrêmement proche de $0$. On conjecture que pour tout $x \in ]-1, 1[$, on a :
      $$\boxed{S_1(x) + S_2(x) + S_3(x) = 0}$$

3. Régularité $\mathscr{C$^1.} Soit $a \in [0, 1[$. On étudie la série sur $I_a = [-a, a]$. Posons $f_n(x) = \ln(1+x^{2n})$. $f_n$ est $\mathscr{C}^1$ sur $I_a$ et $f_n'(x) = \frac{2n x^{2n-1}}{1+x^{2n}}$. Pour $x \in I_a$, $|f_n'(x)| \leq \frac{2n a^{2n-1}}{1-a^2}$ (car $x^{2n} \geq 0$). La série $\sum 2n a^{2n-1}$ converge par la règle de d'Alembert puisque $a < 1$. Il y a donc convergence normale de la série des dérivées sur tout segment de $]-1, 1[$. Par théorème de dérivation des séries de fonctions, $S_1$ est $\mathscr{C}^1$ sur $]-1, 1[$. Le raisonnement est identique pour $S_2$ et $S_3$ en utilisant :
   $$|v_n'(x)| = \left| \frac{(2n-1) x^{2n-2}}{1+x^{2n-1}} \right| \leq \frac{(2n-1) a^{2n-2}}{1-a}$$
   L'existence d'une borne inférieure strictement positive pour les dénominateurs assure la convergence normale sur $[-a, a]$.

4. Démonstration de la conjecture.
   1. Initialisation ($p=1$): On a $S(x) = S_1(x) + \sum_{n=1}^\infty [\ln(1+x^{2n-1}) + \ln(1-x^{2n-1})]$. En utilisant $\ln(A) + \ln(B) = \ln(AB)$, le terme entre crochets devient $\ln(1-x^{4n-2})$. D'autre part, $u_1(x) = S_1(x) = \sum_{n=1}^\infty \ln(1+x^{2n})$. Et $v_1(x) = \sum_{n=1}^\infty \ln(1-x^{2(2n-1)}) = \sum_{n=1}^\infty \ln(1-x^{4n-2})$. Donc $S(x) = u_1(x) + v_1(x)$, l'initialisation est vérifiée. Hérédité : Supposons $S(x) = u_p(x) + v_p(x)$. Séparons les indices pairs et impairs dans $u_p(x)$ :
      $$u_p(x) = \sum_{k=1}^\infty \ln(1 + x^{2^p(2k)}) + \sum_{k=1}^\infty \ln(1 + x^{2^p(2k-1)})$$
      Le premier bloc est exactement $u_{p+1}(x)$. On injecte cela dans $S(x)$ :
      $$S(x) = u_{p+1}(x) + \sum_{n=1}^\infty \ln(1 + x^{2^p(2n-1)}) + \sum_{n=1}^\infty \ln(1 - x^{2^p(2n-1)})$$
      En regroupant les deux dernières sommes :
      $$\sum_{n=1}^\infty \ln\left( (1 + x^{2^p(2n-1)})(1 - x^{2^p(2n-1)}) \right) = \sum_{n=1}^\infty \ln(1 - x^{2^{p+1}(2n-1)}) = v_{p+1}(x)$$
      On obtient bien $S(x) = u_{p+1}(x) + v_{p+1}(x)$.
   1. Passage à la limite. Fixons $x \in ]-1, 1[$. Pour $p$ assez grand, $x^{2^p}$ est proche de $0$. On a $|u_p(x)| \leq \sum_{n=1}^\infty x^{2^p n} = \frac{x^{2^p}}{1-x^{2^p}}$. Cette expression tend vers $0$ quand $p \to +\infty$ car $|x| < 1$. De même, $|\ln(1-u)| \leq \frac{3}{2}u$ pour $u$ petit. Donc pour $p$ grand :
      $$|v_p(x)| \leq \frac{3}{2} \sum_{n=1}^\infty |x|^{2^p(2n-1)} = \frac{3}{2} \frac{|x|^{2^p}}{1-x^{2^{p+1}}} \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$$
      Comme $S(x)$ est indépendant de $p$, par passage à la limite :
      $$\boxed{S(x) = 0}$$