Convergence d'itérées de moyennes glissantes

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs telle que la série $\sum a_n$ converge. On note $S$ sa somme et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ sa somme partielle.

Soit $f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ . On définit par récurrence une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par $f_0 = f$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

\forall x \in \mathbb{R},   f_n(x) = \frac{1}{a_n} \int_{x}^{x+a_n} f_{n-1}(t)   \mathrm{d}t

Étude numérique. On suppose ici que $a_n = 2^{-n}$ $a_{n} = 2^{- n}$ pour tout $n$ $n$ et que $f(t) = t^k$ $f (t) = t^{k}$ avec $k \in \{0, 1, 2\}$ $k \in {0, 1, 2}$ .
1. Proposer un script Python permettant de visualiser les fonctions $f_0, \dots, f_4$ .
2. Quelle conjecture peut-on formuler sur la convergence de la suite $(f_n)$ ?
Soient $a, b \in \mathbb{R}$ $a, b \in R$ tels que $a < b - S$ $a < b - S$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ $n \in N$ , on pose $I_n = [a, b - S_n]$ $I_{n} = [a, b - S_{n}]$ . On définit également :
$M_n = \sup_{x \in I_n} |f_n(x)| \text{et} D_n = \sup_{x \in I_n} |f_n'(x)|$
(où $D_n$ $D_{n}$ n'est défini que lorsque $f_n$ $f_{n}$ est de classe $\mathscr{C}^1$ $C^{1}$ ).
1. Justifier que pour tout $n \geq 1$ , $f_n$ est de classe $\mathscr{C}^n$ .
2. Démontrer que la suite $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante.
3. Démontrer que la suite $(D_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante.
Convergence.
1. Montrer que pour tout $n \geq 2$ et tout $x \in I_n$ : $|f_n(x) - f_{n-1}(x)| \leq \frac{a_n}{2} D_{n-1}$
2. En déduire que la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $]a, b-S[$ .

1.

Pour la régularité, utiliser le théorème fondamental de l'analyse et une récurrence.

2.

Pour la décroissance des bornes supérieures, observer que si $x \in I_n$ , alors l'intervalle d'intégration $[x, x+a_n]$ est inclus dans $I_{n-1}$ .

3.

Pour le contrôle de la dérivée, exprimer $f_n'(x)$ à l'aide des valeurs de $f_{n-1}$ et utiliser le théorème des accroissements finis.

4.

Pour la convergence, utiliser le lien suite-série en étudiant la série $\sum (f_n - f_{n-1})$ et majorer son terme général à l'aide de la question 3(a).

Idées clés

•

Régularité par intégration (gains de classe $\mathscr{C}^k$ ).

•

Stabilité des intervalles par la structure des sommes partielles $S_n$ .

•

Théorème des Accroissements Finis (TAF) et Inégalité des Accroissements Finis (IAF).

•

Critère de convergence des séries de fonctions pour prouver la convergence de suites.

Résolution.

Étude numérique.
1. Voici une proposition de script utilisant \texttt{scipy.integrate.quad} pour le calcul numérique des intégrales.
  \begin{verbatim} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import quad
  def resoudre_etude(k): def f0(x): return x**k
  # Liste pour stocker les fonctions successives fonctions = [f0]
  for n in range(1, 5): an = 2**(-n) # On définit fn à partir de fn-1 (capture de n et an par défaut) def fn(x, n_curr=n, an_curr=an, f_prec=fonctions[-1]): res, _ = quad(f_prec, x, x + an_curr) return res / an_curr fonctions.append(fn)
  x_vals = np.linspace(0, 2, 200) for i, func in enumerate(fonctions): y_vals = [func(xv) for xv in x_vals] plt.plot(x_vals, y_vals, label=f"f_{i}") plt.legend() plt.title(f"Etude pour k={k}") plt.show()
  # Test pour k=2 resoudre_etude(2) \end{verbatim}
2. On observe graphiquement que pour $k \in \{0, 1, 2\}$ , les courbes se superposent presque immédiatement ou évoluent très peu. On conjecture que la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f$ initiale.
Propriétés des suites $(M_n)$ et $(D_n)$ .
1. Montrons par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ que $f_n \in \mathscr{C}^n(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ . Initialisation : $f_0$ est continue. La fonction $x \mapsto \int_0^x f_0(t) \mathrm{d}t$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ . Comme $f_1(x) = \frac{1}{a_1} \left( \int_0^{x+a_1} f_0(t) \mathrm{d}t - \int_0^x f_0(t) \mathrm{d}t \right)$ , $f_1$ est de classe $\mathscr{C}^1$ . Hérédité : Si $f_{n-1}$ est de classe $\mathscr{C}^{n-1}$ , alors par le même argument de primitive, $f_n$ est de classe $\mathscr{C}^n$ . L'hérédité est vérifiée, d'où le résultat.
2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in I_n = [a, b - S_n]$ . Pour tout $t \in [x, x+a_n]$ , on a : $a \leq x \leq t \leq x + a_n \leq (b - S_n) + a_n = b - S_{n-1}$ Ainsi, $t \in [a, b - S_{n-1}] = I_{n-1}$ . Il en résulte : $|f_{n-1}(t)| \leq \sup_{u \in I_{n-1}} |f_{n-1}(u)| = M_{n-1}$ En intégrant cette inégalité : $|f_n(x)| \leq \frac{1}{a_n} \int_x^{x+a_n} |f_{n-1}(t)| \mathrm{d}t \leq \frac{1}{a_n} \int_x^{x+a_n} M_{n-1} \mathrm{d}t = M_{n-1}$ Cette majoration étant vraie pour tout $x \in I_n$ , on en déduit par passage au supremum : $\boxed{M_n \leq M_{n-1}}$
3. Pour $n \geq 2$ , $f_{n-1}$ est au moins $\mathscr{C}^1$ . On a : $\forall x \in \mathbb{R}, f_n'(x) = \frac{f_{n-1}(x+a_n) - f_{n-1}(x)}{a_n}$ D'après le théorème des accroissements finis appliqué à $f_{n-1}$ sur $[x, x+a_n]$ , il existe $c_x \in ]x, x+a_n[$ tel que : $f_n'(x) = f_{n-1}'(c_x)$ D'après le raisonnement précédent sur les intervalles, si $x \in I_n$ , alors $c_x \in I_{n-1}$ . Donc : $|f_n'(x)| = |f_{n-1}'(c_x)| \leq \sup_{u \in I_{n-1}} |f_{n-1}'(u)| = D_{n-1}$ En passant au supremum sur $I_n$ , on obtient : $\boxed{D_n \leq D_{n-1}}$
Convergence de la suite.
1. Soit $x \in I_n$ . On écrit : $f_n(x) - f_{n-1}(x) = \frac{1}{a_n} \int_x^{x+a_n} (f_{n-1}(t) - f_{n-1}(x)) \mathrm{d}t$ D'après l'inégalité des accroissements finis appliquée à $f_{n-1}$ (qui est $\mathscr{C}^1$ ), pour tout $t \in [x, x+a_n]$ : $|f_{n-1}(t) - f_{n-1}(x)| \leq |t - x| \cdot \sup_{u \in [x, t]} |f_{n-1}'(u)|$ Comme $[x, t] \subset I_{n-1}$ , on a $\sup_{u \in [x, t]} |f_{n-1}'(u)| \leq D_{n-1}$ . D'où : $|f_n(x) - f_{n-1}(x)| \leq \frac{D_{n-1}}{a_n} \int_x^{x+a_n} (t-x) \mathrm{d}t$ Le calcul de l'intégrale donne $\left[ \frac{(t-x)^2}{2} \right]_x^{x+a_n} = \frac{a_n^2}{2}$ . On conclut : $\boxed{|f_n(x) - f_{n-1}(x)| \leq \frac{a_n}{2} D_{n-1}}$
2. Soit $x \in ]a, b-S[$ . Pour $n$ assez grand, $x \in I_n$ . D'après la question précédente et la décroissance de $(D_n)$ : $\forall n \geq 2, |f_n(x) - f_{n-1}(x)| \leq \frac{D_1}{2} a_n$ La série $\sum a_n$ converge par hypothèse. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum (f_n(x) - f_{n-1}(x))$ converge absolument. Par le lien suite-série, la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge car : $f_n(x) = f_0(x) + \sum_{k=1}^n (f_k(x) - f_{k-1}(x))$ Conclusion : La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $]a, b-S[$ .

Vérification de l'emboîtement des intervalles pour le contrôle des normes infinies.

Étude de la convergence d'une suite via sa série télescopique associée.