Série d'arctangentes et comparaison série-intégrale

Résolution.

1. Soit $g : x \mapsto \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ définie sur $]0, +\infty[$. La fonction $g$ est dérivable et :
   $$g'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{1}{1+(1/x)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0$$
   La fonction $g$ est donc constante sur l'intervalle $]0, +\infty[$. En $x=1$, on a $g(1) = 2 \arctan(1) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. On en déduit :
   $$\forall x > 0,   \boxed{\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}}$$

2. Soit $x \in \mathbb{R}_{+}$ fixé. Si $x=0$, $f_n(0) = 0$ et la série converge. Si $x > 0$, d'après l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $\arctan$ sur $[n, n+x]$ :
   $$|f_n(x)| \le x \cdot \sup_{t \in [n, n+x]} \frac{1}{1+t^2} = \frac{x}{1+n^2}$$
   Comme $\frac{x}{1+n^2} \sim \frac{x}{n^2}$, le terme général est celui d'une série convergente par comparaison avec une série de Riemann. Ainsi, la série $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_{+}$.

3. Soit $x > 0$. La fonction $t \mapsto f(x, t)$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}$. D'après le même raisonnement que précédemment :
   $$0 \le f(x, t) \le \frac{x}{1+t^2}$$
   Or, $t \mapsto \frac{x}{1+t^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}$ (le reste d'intégrale converge). Par comparaison, $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}$.

4. Fixons $x \in \mathbb{R}_{+}$. Calculons la dérivée de $t \mapsto f(x, t)$ :
   $$\frac{\partial f}{\partial t}(x, t) = \frac{1}{1+(x+t)^2} - \frac{1}{1+t^2}$$
   Puisque $x \ge 0$, on a $(x+t)^2 \ge t^2$ pour tout $t \ge 0$, d'où $1+(x+t)^2 \ge 1+t^2$. Il s'ensuit que $\frac{\partial f}{\partial t}(x, t) \le 0$, donc $t \mapsto f(x, t)$ est décroissante. Par comparaison série-intégrale classique :
   $$\int_{k}^{k+1} f(x, t)   \mathrm{d}t \leqslant f(x, k) \leqslant \int_{k-1}^{k} f(x, t)   \mathrm{d}t$$
   En sommant pour $k$ allant de $n+1$ à $N$ :
   $$\int_{n+1}^{N+1} f(x, t)   \mathrm{d}t \leqslant \sum_{k=n+1}^{N} f_k(x) \leqslant \int_{n}^{N} f(x, t)   \mathrm{d}t$$
   En faisant tendre $N$ vers $+\infty$, l'intégrabilité assure la convergence des intégrales :
   $$\boxed{Q_{n+1}(x) \leqslant R_n(x) \leqslant Q_n(x)}$$

5. Utilisons l'écriture intégrale de $f$ : $f(x, t) = \int_0^x \frac{1}{1+(t+u)^2}   \mathrm{d}u$. On a alors, par le théorème de Fubini pour les fonctions positives :
   $$Q_n(x) = \int_n^{+\infty} \left( \int_0^x \frac{1}{1+(t+u)^2}   \mathrm{d}u \right) \mathrm{d}t = \int_0^x \left( \int_n^{+\infty} \frac{1}{1+(t+u)^2}   \mathrm{d}t \right) \mathrm{d}u$$
   L'intégrale intérieure se calcule immédiatement :
   $$\int_n^{+\infty} \frac{1}{1+(t+u)^2}   \mathrm{d}t = \left[ \arctan(t+u) \right]_{t=n}^{t \to +\infty} = \frac{\pi}{2} - \arctan(n+u)$$
   En utilisant la relation de la question 1 : $\frac{\pi}{2} - \arctan(n+u) = \arctan\left(\frac{1}{n+u}\right)$. D'où :
   $$Q_n(x) = \int_0^x \arctan\left(\frac{1}{n+u}\right)   \mathrm{d}u$$
   Une primitive de $v \mapsto \arctan(1/v)$ est $v \arctan(1/v) + \frac{1}{2}\ln(1+v^2)$. Ainsi :
   $$\boxed{Q_n(x) = (n+x)\arctan\left(\frac{1}{n+x}\right) + \frac{1}{2}\ln(1+(n+x)^2) - n\arctan\left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{2}\ln(1+n^2)}$$

6. Pour que la série converge uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$, il est nécessaire que son reste $R_n$ tende vers 0 uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$, ce qui implique que $R_n$ soit bornée sur $\mathbb{R}_{+}$ pour tout $n$. Or, d'après l'encadrement du reste : $R_n(x) \ge Q_{n+1}(x)$. Étudions la limite de $Q_{n+1}(x)$ quand $x \to +\infty$. Dans l'expression de $Q_n(x)$, le terme $(n+x)\arctan(1/(n+x))$ tend vers 1 quand $x \to +\infty$. Cependant, le terme $\frac{1}{2}\ln(1+(n+x)^2)$ tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$. Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} Q_{n+1}(x) = +\infty$, ce qui prouve que $R_n$ n'est pas bornée sur $\mathbb{R}_{+}$. Conclusion : La série $\sum f_n$ \boxed{\text{ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}_{+}}.