Convergence d'une série de points isolés du plan

Soit $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathbb{C}$ vérifiant la propriété suivante : il existe un réel $d > 0$ tel que pour tout $(p, q) \in \mathbb{N}^2$ , si $p \neq q$ , alors $|z_p - z_q| \geq d$ .

On considère un réel $a > 2$ .

Montrer que la série de terme général $\frac{1}{|z_n|^a}$ est convergente (on conviendra d'écarter les éventuels termes nuls qui sont en nombre fini).

1.

Interpréter géométriquement la condition d'espacement à l'aide de disques disjoints.

2.

Pour $R > 0$ , estimer le nombre maximal $N(R)$ de points $z_n$ situés dans le disque fermé $\bar{D}(0, R)$ en comparant les aires.

3.

Ranger les modules $|z_n|$ par ordre croissant et minorer $|z_n|$ en fonction de $n$ .

Idées clés

•

Comparaison "Somme / Aire" via un argument de densité locale.

•

Utilisation de la fonction de comptage $N(R) = \text{card}\{n \in \mathbb{N} : |z_n| \leq R\}$ .

•

Comparaison avec une série de Riemann.

Résolution.

1. Analyse géométrique.

Considérons, pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , le disque ouvert $D_n = D(z_n, d/2)$ centré en $z_n$ et de rayon $d/2$ . Par l'inégalité triangulaire, si $p \neq q$ , les disques $D_p$ et $D_q$ sont disjoints.

En effet, si $w \in D_p \cap D_q$ , on aurait :

|z_p - z_q| \leq |z_p - w| + |w - z_q| < \frac{d}{2} + \frac{d}{2} = d

Ce qui contredit l'hypothèse

|z_p - z_q| \geq d

.

2. Estimation de la fonction de comptage.

Soit $R > 0$ . Notons $\mathcal{I}_R = \{ n \in \mathbb{N} \mid |z_n| \leq R \}$ et $N(R) = \text{card}(\mathcal{I}_R)$ . Si $n \in \mathcal{I}_R$ , alors pour tout $w \in D_n$ , on a par inégalité triangulaire :

|w| \leq |w - z_n| + |z_n| < \frac{d}{2} + R

Ainsi, tous les disques $(D_n)_{n \in \mathcal{I}_R}$ sont inclus dans le disque $D(0, R + d/2)$ . Comme ces disques sont disjoints, la somme de leurs aires est inférieure ou égale à l'aire du grand disque :

\sum_{n \in \mathcal{I}_R} \text{Aire}(D_n) \leq \text{Aire}\left( D\left(0, R + \frac{d}{2}\right) \right)

On en déduit :

N(R) \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \leq \pi \left( R + \frac{d}{2} \right)^2

D'où l'estimation cruciale sur le nombre de points :

\boxed{ N(R) \leq \left( \frac{2R}{d} + 1 \right)^2 }

3. Minoration des termes de la suite.

Quitte à réindexer la suite, on peut supposer que la suite $(|z_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Par définition de $N(R)$ , on a $n \leq N(|z_n|)$ . En utilisant l'inégalité précédente avec $R = |z_n|$ , on obtient :

n \leq \left( \frac{2|z_n|}{d} + 1 \right)^2

En passant à la racine carrée :

\sqrt{n} \leq \frac{2|z_n|}{d} + 1 \implies |z_n| \geq \frac{d}{2} (\sqrt{n} - 1)

Pour $n$ suffisamment grand (dès que $\sqrt{n} > 1$ ), on a :

\frac{d}{2} (\sqrt{n} - 1) \sim \frac{d}{2} \sqrt{n}

4. Conclusion sur la convergence.

On en déduit l'existence d'une constante $C > 0$ telle que pour $n$ assez grand :

\frac{1}{|z_n|^a} \leq \frac{C}{(\sqrt{n})^a} = \frac{C}{n^{a/2}}

La série $\sum \frac{1}{n^{a/2}}$ est une série de Riemann. Elle converge si et seulement si :

\frac{a}{2} > 1 \iff \boxed{ a > 2 }

Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \frac{1}{|z_n|^a}$ converge.

Vouloir se ramener au cas unidimensionnel (réel) alors que la densité de points dans le plan impose une croissance différente.

Dans un espace de dimension k, si des points sont séparés par une distance d, alors |z_n| croît au moins comme n^(1/k).