Convergence d'une suite récurrente et série entière associée

Résolution.

1. Les premiers termes sont $a_0=0, a_1=0, a_2=1$. Pour $n=0$ : $3a_3 = 2a_2 + a_0 = 2 \implies a_3 = \frac{2}{3}$. Pour $n=1$ : $4a_4 = 3a_3 + a_1 = 2 \implies a_4 = \frac{1}{2}$. La suite semble décroître après $n=2$ tout en restant positive.

2. Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \le a_n \le 1$. L'initialisation est vérifiée pour $n=0, 1, 2$. Supposons la propriété vraie jusqu'au rang $n+2$ ($n \ge 0$). D'après la relation de récurrence :
   $$a_{n+3} = \frac{n+2}{n+3} a_{n+2} + \frac{1}{n+3} a_n$$
   Comme $a_{n+2} \in [0,1]$ et $a_n \in [0,1]$, et que les coefficients $\frac{n+2}{n+3}$ et $\frac{1}{n+3}$ sont positifs et ont pour somme $1$, par convexité (ou encadrement direct) :
   $$0 \le a_{n+3} \le \frac{n+2}{n+3} \cdot 1 + \frac{1}{n+3} \cdot 1 = 1$$
   La propriété est donc démontrée par récurrence.
   $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},   0 \le a_n \le 1}$$

3. 1. On a $u_{n+2} = a_{n+3} - a_{n+2}$. En utilisant la relation de l'énoncé :
      $$u_{n+2} = \frac{n+2}{n+3} a_{n+2} + \frac{1}{n+3} a_n - a_{n+2} = \frac{a_n - a_{n+2}}{n+3}$$
      En remarquant que $a_n - a_{n+2} = (a_n - a_{n+1}) + (a_{n+1} - a_{n+2}) = -u_n - u_{n+1}$, on obtient :
      $$\boxed{u_{n+2} = - \frac{u_{n+1} + u_n}{n+3}}$$

   2. Puisque $(a_n)$ est bornée, $|u_n| = |a_{n+1}-a_n| \le 1$. D'après la relation précédente, $|u_{n+2}| \le \frac{2}{n+3}$, donc $u_n = O(1/n)$. En réinjectant cette estimation dans la relation :
      $$|u_{n+2}| \le \frac{|u_{n+1}| + |u_n|}{n+3} \le \frac{C/(n+1) + C/n}{n+3} \le \frac{2C}{n(n+3)}$$
      On en déduit bien que :
      $$\boxed{u_n = O\left(\frac{1}{n^2}\right)}$$

   3. La série $\sum u_n$ est absolument convergente car $u_n = O(1/n^2)$. Or, la somme partielle de cette série est :
      $$\sum_{k=0}^{n-1} u_k = \sum_{k=0}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_0 = a_n$$
      La convergence de la série $\sum u_n$ entraîne donc la convergence de la suite $(a_n)$.

4. Puisque la suite $(a_n)$ est bornée, le rayon de convergence $R$ est au moins égal à $1$. De plus, comme $a_n \ge 0$ et $a_2=1$, un calcul simple montre que $a_n \ge \frac{1}{n}$ (ou plus simplement, on voit que $a_n$ ne tend pas vers $0$ car $a_n$ converge vers une limite $L$ et $a_n$ décroît lentement). En fait, $a_n \to L > 0$. La série $\sum a_n$ diverge donc grossièrement, ce qui impose $R \le 1$.
   $$\boxed{R = 1}$$

5. Pour $x \in ]-1, 1[$, on multiplie par $x^{n+2}$ et on somme pour $n \ge 0$ :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} (n+3) a_{n+3} x^{n+2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+2} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+2}$$
   Analysons chaque terme : 1. $\sum_{n=0}^{+\infty} (n+3) a_{n+3} x^{n+2} = \sum_{k=3}^{+\infty} k a_k x^{k-1} = f'(x) - a_1 - 2a_2 x = f'(x) - 2x$. 2. $\sum_{n=0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+2} = x \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+1} = x (f'(x) - a_1) = x f'(x)$. 3. $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+2} = x^2 f(x)$.

   En substituant, on obtient :

   $$f'(x) - 2x = x f'(x) + x^2 f(x)$$
   Soit l'équation différentielle :
   $$\boxed{(1-x) f'(x) - x^2 f(x) = 2x}$$