Étude d'une suite d'intégrales et de séries associées

Résolution.

1. 1. Soit $n \geq 2$. On écrit :
      $$I_{n-1} = \int_{0}^{1} \frac{1+t^2}{(1+t^2)^n} \mathrm{d} t = I_n + \int_{0}^{1} \frac{t^2}{(1+t^2)^n} \mathrm{d} t$$
      Effectuons une intégration par parties sur la seconde intégrale en posant $u(t) = t$ et $v'(t) = \frac{t}{(1+t^2)^n}$. Alors $u'(t) = 1$ et $v(t) = \frac{-1}{2(n-1)(1+t^2)^{n-1}}$. Il vient :
      $$\int_{0}^{1} \frac{t \cdot t}{(1+t^2)^n} \mathrm{d} t = \left[ \frac{-t}{2(n-1)(1+t^2)^{n-1}} \right]_0^1 + \frac{1}{2(n-1)} \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+t^2)^{n-1}} \mathrm{d} t$$
      En remplaçant les bornes et en identifiant $I_{n-1}$ :
      $$\int_{0}^{1} \frac{t^2}{(1+t^2)^n} \mathrm{d} t = \frac{-1}{2^{n}(n-1)} + \frac{1}{2(n-1)} I_{n-1}$$
      On réinjecte dans l'égalité initiale :
      $$I_{n-1} = I_n - \frac{1}{(n-1)2^n} + \frac{1}{2n-2} I_{n-1}$$
      On en déduit la relation de récurrence :
      $$\boxed{ I_n = \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1} + \frac{1}{(n-1)2^n} }$$

   2. En utilisant $I_0 = \int_0^1 1 \mathrm{d} t = 1$ et $I_1 = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d} t = \frac{\pi}{4}$, on implémente la récurrence.

      \begin{verbatim} def suite_I(n_max): I = [1.0, 0.785398] # Valeurs pour n=0 et n=1 for n in range(2, n_max + 1): val = ((2*n - 3) / (2*n - 2)) * I[-1] + 1 / ((n - 1) * (2**n)) I.append(val) return I \end{verbatim}

      Les valeurs approximatives sont : $I_0=1$, $I_1 \approx 0.785$, $I_2 \approx 0.643$, $I_3 \approx 0.561$, $I_4 \approx 0.507$, $I_5 \approx 0.468$, $I_6 \approx 0.437$, $I_7 \approx 0.413$, $I_8 \approx 0.392$, $I_9 \approx 0.375$.

2. Pour tout $t \in [0, 1]$, la suite de fonctions $f_n : t \mapsto (1+t^2)^{-n}$ converge simplement vers la fonction $f$ définie par :
   $$f(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t=0$$
   0 & \text{si } t \in (0, 1] \end{cases}
   De plus, $\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in [0, 1], |f_n(t)| \leq 1$. La fonction constante égale à $1$ est intégrable sur $[0, 1]$. D'après le théorème de convergence dominée, on conclut :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} I_n = \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t = 0 }$$

3. Cherchons un équivalent de $I_n$. Posons le changement de variable $u = t\sqrt{n}$, soit $t = \frac{u}{\sqrt{n}}$ et $\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{n}}$.
   $$I_n = \int_{0}^{\sqrt{n}} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(1 + \frac{u^2}{n}\right)^{-n} \mathrm{d} u$$
   Or, $\left(1 + \frac{u^2}{n}\right)^{-n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{-u^2}$. Par convergence dominée (en utilisant $\ln(1+x) \leq x$), on montre que :
   $$\sqrt{n} I_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_{0}^{+\infty} e^{-u^2} \mathrm{d} u = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
   On obtient l'équivalent suivant :
   $$\boxed{ I_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}} }$$
   Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge ($\alpha = 1/2 \leq 1$), par comparaison de séries à termes positifs :
   $$\boxed{ \text{La série } \sum I_n \text{ diverge.} }$$

4. En utilisant l'équivalent précédent, on a :
   $$\frac{I_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\sqrt{\pi}}{2n^{3/2}}$$
   La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge car $\alpha = 3/2 > 1$. Par comparaison :
   $$\boxed{ \text{La série } \sum \frac{I_n}{n} \text{ converge.} }$$