Équicontinuité et convergence uniforme

Résolution.

1. Soit $x \in D$ et $\varepsilon > 0$ fixé. Puisque $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $D$, on sait d'une part que $f$ est continue sur $D$. D'autre part, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :
   $$\forall n \ge N,   \sup_{t \in D} |f_n(t) - f(t)| \le \frac{\varepsilon}{3}$$

   Pour tout $n \ge N$ et tout $y \in D$, on peut écrire par inégalité triangulaire :

   $$|f_n(x) - f_n(y)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f(y)| + |f(y) - f_n(y)|$$
   D'après le choix de $N$, pour $n \ge N$, on a $|f_n(x) - f(x)| \le \frac{\varepsilon}{3}$ et $|f_n(y) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{3}$. Par continuité de $f$ en $x$, il existe $\delta_0 > 0$ tel que pour tout $y \in D \cap ]x-\delta_0, x+\delta_0[$, $|f(x) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{3}$. On en déduit que pour tout $n \ge N$ et $y \in D \cap ]x-\delta_0, x+\delta_0[$ :
   $$\boxed{|f_n(x) - f_n(y)| \le \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon}$$

   Enfin, pour chaque $k \in \{0, \dots, N-1\}$, la fonction $f_k$ est continue en $x$. Il existe donc $\delta_k > 0$ tel que $|y-x| < \delta_k \implies |f_k(x) - f_k(y)| < \varepsilon$. En posant $\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \dots, \delta_{N-1}) > 0$, on obtient :

   $$\forall n \in \mathbb{N}, \forall y \in D \cap ]x-\delta, x+\delta[,   |f_n(x) - f_n(y)| < \varepsilon$$

2. Soit $K \subset D$ un segment et $\varepsilon > 0$. Par hypothèse d'équicontinuité uniforme, il existe $\delta > 0$ tel que :
   $$\forall n \in \mathbb{N}, \forall (x,y) \in K^2,   |x-y| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\varepsilon}{3}$$
   En passant à la limite $n \to +\infty$ dans cette inégalité, on obtient que la limite simple $f$ vérifie aussi :
   $$\forall (x,y) \in K^2,   |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{3}$$

   Le segment $K$ est compact, donc d'après le théorème de Borel-Lebesgue, on peut le recouvrir par un nombre fini d'intervalles ouverts de rayon $\delta$. Il existe $x_1, \dots, x_p \in K$ tels que :

   $$K \subset \bigcup_{i=1}^p ]x_i - \delta, x_i + \delta[$$

   Comme la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ en chaque $x_i$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :

   $$\forall n \ge N, \forall i \in \{1, \dots, p\},   |f_n(x_i) - f(x_i)| < \frac{\varepsilon}{3}$$

   Soit maintenant $x \in K$. Il existe $i \in \{1, \dots, p\}$ tel que $|x - x_i| < \delta$. On décompose :

   $$|f_n(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f(x_i)| + |f(x_i) - f(x)|$$
   D'après les points précédents, pour tout $n \ge N$ :
   $$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$
   Comme ce majorant est indépendant de $x \in K$, on a bien prouvé la convergence uniforme :
   $$\boxed{\forall n \ge N,   \sup_{x \in K} |f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon}$$