Convergence d'une suite de fonctions puissances

Résolution.

1. Étude de la limite simple : Soit $x \in [0, 1]$. Si $x = 0$ ou $x = 1$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) = 0$. Ainsi, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$. Si $x \in ]0, 1[$, alors $|1-x| < 1$. Par croissance comparée entre les suites puissances et les suites géométriques :
   $$\lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} (1-x)^n = 0$$
   Par conséquent, pour tout $x \in [0, 1]$, $f_n(x)$ converge vers $0$.
   $$\boxed{f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{simple} 0 \text{ sur } [0, 1]}$$

2. Étude de la convergence uniforme : La suite converge uniformément vers la fonction nulle si et seulement si $\|f_n\|_{\infty} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. La fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$. Calculons sa dérivée : \begin{align*} f_n'(x) &= n^{\alpha} (1-x)^n + n^{\alpha} x \cdot n(1-x)^{n-1} \cdot (-1)
   &= n^{\alpha} (1-x)^{n-1} \left[ (1-x) - nx \right]
   &= n^{\alpha} (1-x)^{n-1} \left[ 1 - (n+1)x \right] \end{align*} La dérivée s'annule sur $]0, 1[$ en $x_n = \frac{1}{n+1}$. D'après le tableau de variations, $f_n$ est positive et atteint son maximum en $x_n$. On a alors :
   $$\|f_n\|_{\infty} = f_n(x_n) = n^{\alpha} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n$$
   Étudions le comportement asymptotique de ce terme :
   1. D'une part, $\frac{n^{\alpha}}{n+1} \sim n^{\alpha-1}$.
   2. D'autre part, $\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n = \exp\left( n \ln\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \right)$. Comme $\ln(1+u) = u + o(u)$ au voisinage de 0, on a :
      $$n \ln\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = n \left( -\frac{1}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = -\frac{n}{n+1} + o(1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} -1$$
      Par continuité de l'exponentielle, $\lim_{n \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1}$.
   On en déduit l'équivalent suivant :
   $$\boxed{\|f_n\|_{\infty} \sim \frac{n^{\alpha-1}}{e}}$$
   La suite $(f_n)$ converge uniformément vers 0 si et seulement si $\lim_{n \to +\infty} \|f_n\|_{\infty} = 0$. Cela est réalisé si et seulement si l'exposant de $n$ dans l'équivalent est strictement négatif.
   $$\boxed{\text{La convergence est uniforme sur } [0, 1] \iff \alpha < 1}$$