Comportement au bord d'une série lacunaire

Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'entiers naturels strictement croissante. On suppose que la suite $(p_n)$ vérifie la condition de croissance suivante :

n = o(p_n)   \text{lorsque } n \to +\infty

On définit, pour tout $x \in [0, 1[$ , la fonction $f$ par la somme de la série entière :

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{p_n}

Démontrer que la fonction $f$ vérifie la propriété de limite suivante :

(1-x) f(x) \xrightarrow[x \rightarrow 1^{-}]{} 0

1.

Traduire la condition $n = o(p_n)$ par l'existence, pour tout entier $k$ , d'un rang à partir duquel $p_n \geq kn$ .

2.

Découper la somme $f(x)$ en deux parties et majorer la queue de série par une série géométrique de raison $x^k$ .

3.

Étudier la limite du produit $(1-x)f(x)$ en faisant tendre $x$ vers 1, puis en utilisant le caractère arbitraire de $k$ .

Idées clés

•

Comparaison série/série : majoration par une série géométrique de "pente" arbitraire.

•

Découpage de somme (méthode $\varepsilon/2$ ou ici $1/k$ ).

•

Utilisation de la limite $\frac{1-x}{1-x^k} \to \frac{1}{k}$ .

Résolution.

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ un entier fixé quelconque. Par hypothèse, $p_n / n \to +\infty$ , donc il existe un rang $N_k \in \mathbb{N}$ tel que :

\forall n \geq N_k,   \frac{p_n}{n} \geq k \implies p_n \geq kn

Pour $x \in [0, 1[$ , nous pouvons séparer la somme définissant $f(x)$ en deux parties :

f(x) = \sum_{n=0}^{N_k-1} x^{p_n} + \sum_{n=N_k}^{\infty} x^{p_n}

Comme $x \in [0, 1[$ , on a $x^{p_n} \leq 1$ pour les premiers termes, et pour $n \geq N_k$ , on utilise la majoration $p_n \geq kn$ :

f(x) \leq \sum_{n=0}^{N_k-1} 1 + \sum_{n=N_k}^{\infty} x^{kn}

En calculant la somme géométrique, il vient :

f(x) \leq N_k + \frac{x^{k N_k}}{1 - x^k} \leq N_k + \frac{1}{1 - x^k}

Multiplions maintenant cette inégalité par $(1-x)$ , qui est strictement positif :

0 \leq (1-x) f(x) \leq (1-x) N_k + \frac{1-x}{1-x^k}

Analysons le comportement de chaque terme lorsque $x$ tend vers $1^-$ :

Le terme $(1-x) N_k$ tend vers $0$ car $N_k$ est constant une fois $k$ fixé.
Pour le second terme, on reconnaît un taux d'accroissement ou une somme géométrique : $\frac{1-x}{1-x^k} = \frac{1-x}{(1-x)(1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1})} = \frac{1}{\sum_{j=0}^{k-1} x^j}$ Cette expression tend vers $\frac{1}{k}$ quand $x \to 1^-$ .

Par conséquent, en passant à la limite supérieure :

0 \leq \limsup_{x \to 1^-} (1-x) f(x) \leq \frac{1}{k}

Cette inégalité est vraie pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ . En faisant tendre $k$ vers $+\infty$ , on obtient par encadrement :

\boxed{ \lim_{x \to 1^-} (1-x) f(x) = 0 }

Interversion illicite limite/somme sur une série divergente.

Une série lacunaire dont les indices croissent plus vite que n diverge moins vite que (1-x)^{-1} en 1.