Série de Bertrand pondérée et régularité

Résolution.

1. Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$, la série converge. Pour $x > 0$, $f_n(x) = o(1/n^2)$ par croissances comparées. La série converge donc absolument pour tout $x \in \mathbb{R}^+$.
   $$\boxed{D_S = [0, +\infty[}$$

2. La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ et $f_n'(x) = \frac{e^{-nx}(1-nx)}{\ln n}$. Le maximum est atteint en $x = 1/n$ et vaut $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{en \ln n}$. La série $\sum \frac{1}{n \ln n}$ est une série de Bertrand divergente.
   $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence normale sur } \mathbb{R}^+.}$$

3. 1. Pour $x > 0$, par décroissance de $k \mapsto \frac{1}{\ln k}$ :
      $$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{x e^{-kx}}{\ln k} \leqslant \frac{x}{\ln(n+1)} \sum_{k=n+1}^{+\infty} (e^{-x})^k$$
      En utilisant la somme d'une série géométrique de raison $e^{-x} < 1$ :
      $$\boxed{R_n(x) \leqslant \frac{1}{\ln(n+1)} \frac{x e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}}}$$

   2. Posons $\phi(x) = \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}}$ pour $x > 0$ et $\phi(0)=1$. Comme $\phi$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ (limite $1$ en $0$) et tend vers $0$ en $+\infty$, elle est bornée par un réel $M$. Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $|R_n(x)| \leqslant \frac{M}{\ln(n+1)}$, ce qui ne dépend plus de $x$. Comme $\frac{M}{\ln(n+1)} \to 0$, la convergence est uniforme.

4. Chaque $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$. Fixons $[a, b] \subset \mathbb{R}^{+*}$. $|f_n'(x)| = \frac{|1-nx|e^{-nx}}{\ln n} \leqslant \frac{(1+nb)e^{-na}}{\ln n}$. Le membre de droite est le terme général d'une série convergente. Il y a donc convergence normale de $\sum f_n'$ sur tout segment de $\mathbb{R}^{+*}$.
   $$\boxed{S \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[.}$$

5. Le taux d'accroissement en $0$ est $\frac{S(x)-S(0)}{x} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{\ln n}$. Tous les termes sont positifs et décroissent vers $\frac{1}{\ln n}$ quand $x \to 0^+$. D'après le théorème de convergence monotone pour les séries :
   $$\lim_{x \to 0^+} \frac{S(x)}{x} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\ln n} = +\infty$$
   $$\boxed{S \text{ n'est pas dérivable en } 0.}$$

6. Pour $x \geqslant 1$, $|f_n(x)| \leqslant \frac{x e^{-nx}}{\ln 2}$. $\sum f_n$ converge normalement sur $[1, +\infty[$ car $\|f_n\|_\infty^{[1, +\infty[} = f_n(1)$ pour $n$ assez grand. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $x^k f_n(x) = \frac{x^{k+1} e^{-nx}}{\ln n} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. Par interversion de limites (justifiée par la convergence uniforme de $\sum x^k f_n$ sur $[1, +\infty[$ via une majoration par $e^{-nx} \times \text{constante}$),
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} x^k S(x) = 0}$$