Régularité et équation de type moyenne

On considère l'équation fonctionnelle suivante d'inconnue $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ :

(E) : \forall x \in [0, 1],   f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right) = f(x)

Montrer que toute fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0, 1]$ solution de $(E)$ est nécessairement affine. En déduire la forme générale de ces solutions.
On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in [0, 1]$ : $u_n(x) = \frac{\sin(2^n \pi x)}{2^n}$ . Démontrer que $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ est une fonction continue sur $[0, 1]$ .
Justifier que $S$ est une solution de l'équation $(E)$ .
La fonction $S$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ?

1.

Pour la question 1, dériver deux fois l'équation $(E)$ et utiliser la norme infinie de $f''$ .

2.

Pour la question 3, utiliser le fait que pour $n \geq 2$ , $\sin(2^{n-1} \pi (x+1)) = \sin(2^{n-1} \pi x)$ car l'argument est décalé d'un multiple pair de $\pi$ .

3.

Comparer $S$ aux solutions de la question 1.

Idées clés

•

Principe du maximum pour les dérivées (bornitude sur un segment).

•

Convergence normale des séries de fonctions.

•

Propriétés de périodicité des fonctions trigonométriques.

Résolution.

Soit $f \in \mathcal{C}^2([0, 1])$ une solution de $(E)$ . En dérivant deux fois par rapport à $x$ , on obtient : $\frac{1}{4} f''\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4} f''\left(\frac{x+1}{2}\right) = f''(x)$ Notons $M = \|f''\|_\infty$ . Par l'inégalité triangulaire : $|f''(x)| \leq \frac{1}{4} \left|f''\left(\frac{x}{2}\right)\right| + \frac{1}{4} \left|f''\left(\frac{x+1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}M + \frac{1}{4}M = \frac{1}{2}M$ En passant à la borne supérieure sur $x \in [0, 1]$ , on obtient $M \leq \frac{1}{2}M$ , ce qui impose $M = 0$ . Ainsi $f'' = 0$ , donc $f$ est de la forme $f(x) = ax + b$ . En réinjectant dans $(E)$ : $\left(a\frac{x}{2} + b\right) + \left(a\frac{x+1}{2} + b\right) = ax + b \iff ax + \frac{a}{2} + 2b = ax + b \iff b + \frac{a}{2} = 0$ Les solutions $\mathcal{C}^2$ sont les fonctions de la forme : $\boxed{ f(x) = a\left(x - \frac{1}{2}\right), a \in \mathbb{R} }$
On a $\|u_n\|_\infty = \frac{1}{2^n}$ . La série géométrique $\sum \frac{1}{2^n}$ converge, donc la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, 1]$ . Chaque $u_n$ étant continue, la somme $\boxed{ S \text{ est continue sur } [0, 1] }$ .
Calculons $u_n(\frac{x}{2}) + u_n(\frac{x+1}{2})$ : $\frac{\sin(2^{n-1} \pi x)}{2^n} + \frac{\sin(2^{n-1} \pi (x+1))}{2^n} = \frac{\sin(2^{n-1} \pi x) + \sin(2^{n-1} \pi x + 2^{n-1}\pi)}{2^n}$ - Si $n=1$ : $\sin(\pi x) + \sin(\pi x + \pi) = \sin(\pi x) - \sin(\pi x) = 0$ . - Si $n \geq 2$ : $2^{n-1}$ est un entier pair, donc $\sin(\theta + 2^{n-1}\pi) = \sin(\theta)$ . D'où : $u_n\left(\frac{x}{2}\right) + u_n\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{2\sin(2^{n-1} \pi x)}{2^n} = u_{n-1}(x)$ En sommant sur $n \in \mathbb{N}^*$ : $\sum_{n=1}^{+\infty} \left[ u_n\left(\frac{x}{2}\right) + u_n\left(\frac{x+1}{2}\right) \right] = 0 + \sum_{n=2}^{+\infty} u_{n-1}(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} u_k(x) = S(x)$ $\boxed{ S \text{ est donc solution de } (E) }$ .
$S$ est $1$ -périodique et non constante ( $S(0)=0$ et $S(1/2) = \sum \frac{\sin(2^{n-1}\pi)}{2^n} = \sin(\pi/2)/2 + 0 = 1/2$ ). Une fonction affine $1$ -périodique est nécessairement constante. Or $S$ n'est pas constante. Si $S$ était $\mathcal{C}^1$ , un résultat admis (ou une extension de la question 1) montrerait qu'elle doit être affine. Plus précisément, si $S \in \mathcal{C}^1$ , alors $S$ est de la forme $a(x-1/2)$ , ce qui contredit la périodicité. $\boxed{ S \text{ n'est pas de classe } \mathcal{C}^1 }$ .

Dérivation terme à terme illicite d'une série de fonctions.

L'utilisation de la norme infinie de la dérivée seconde pour prouver qu'une fonction est affine.