Propriétés de la série de Lerch alternée

Résolution.

1. Pour $x \in \mathbb{R}$, le terme général $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n+x}$ est défini si $x \notin \mathbb{Z}^- = \{0, -1, -2, \dots\}$. Pour $x \notin \mathbb{Z}^-$, la suite $(|u_n(x)|)_{n \geq N}$ est décroissante et tend vers $0$ dès que $n > -x$. D'après le critère spécial des séries alternées, la série converge.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0, -1, -2, \dots\}}$$

2. Soit $k \in \mathbb{N}$. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, +\infty[$ avec :
   $$u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^n (-1)^k k!}{(n+x)^{k+1}}$$
   Pour $a > 0$, sur $[a, +\infty[$, on a $|u_n^{(k)}(x)| \leq \frac{k!}{(n+a)^{k+1}}$. Pour $k \geq 1$, la série $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement sur $[a, +\infty[$ car $\frac{k!}{(n+a)^{k+1}} = O(1/n^2)$. Par le théorème de régularité des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ pour tout $k$, donc :
   $$\boxed{f \in \mathcal{C}^\infty(]0, +\infty[, \mathbb{R})}$$

3. On a $f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+x)^2}$. C'est une série alternée dont le premier terme est $-\frac{1}{x^2} < 0$. D'après les propriétés des séries alternées (le signe de la somme est celui du premier terme), on a $f'(x) < 0$.
   $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } ]0, +\infty[}$$

4. Pour $x > 0$ :
   $$f(x+1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1+x} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k+x} = - \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+x}$$
   En ajoutant $f(x)$, le terme pour $k=0$ de $f(x)$ est le seul restant :
   $$\boxed{f(x) + f(x+1) = \frac{1}{x}}$$

5. Soit $x > 0$. On a $\frac{t^{x-1}}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{n+x-1}$. Soit $S_N(t) = \sum_{n=0}^N (-1)^n t^{n+x-1} = \frac{t^{x-1}(1 - (-t)^{N+1})}{1+t}$. On a $| \frac{t^{x-1}}{1+t} - S_N(t) | = \frac{t^{N+x}}{1+t} \leq t^{N+x}$. Comme $N+x \to +\infty$, l'intégrale du reste tend vers 0. Par intégration terme à terme :
   $$\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 (-1)^n t^{n+x-1} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} = \boxed{f(x)}$$

6. En 0 : D'après la relation $f(x) = \frac{1}{x} - f(x+1)$, et comme $f$ est continue en $1$, $f(x+1) \to f(1)$ quand $x \to 0$.
   $$f(x) = \frac{1}{x} - f(1) + o(1) \implies \boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x}}$$
   En $+\infty$ : La décroissance de $f$ donne $f(x+1) \leq f(x)$. La relation $f(x)+f(x+1)=1/x$ implique $2f(x+1) \leq 1/x \leq 2f(x)$. D'une part $f(x) \geq \frac{1}{2x}$, d'autre part $f(x) \leq \frac{1}{2(x-1)}$. Par encadrement :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2x}}$$