Convergence de polynômes de degré borné

Soit $d \in \mathbb{N}$ un entier fixé. On considère une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartenant à $\mathbb{K}_d[X]$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On suppose que cette suite $(P_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{K}$ .

Démontrer que la fonction limite $f$ est une fonction polynomiale et qu'elle appartient à $\mathbb{K}_d[X]$ .
Établir que la convergence de la suite $(P_n)$ vers $f$ est uniforme sur tout segment $[-A, A]$ pour $A > 0$ .

1.

Utiliser le fait que $\mathbb{K}_d[X]$ est un espace vectoriel de dimension finie $d+1$ .

2.

Considérer les valeurs prises par les polynômes en $d+1$ points distincts pour définir un isomorphisme.

3.

Exploiter l'équivalence des normes en dimension finie pour passer de la convergence des composantes à la convergence uniforme.

Idées clés

•

Isomorphisme entre $\mathbb{K}_d[X]$ et $\mathbb{K}^{d+1}$ via l'évaluation.

•

Équivalence des normes en dimension finie.

•

Lien entre norme infinie sur un segment et convergence uniforme.

1. Nature polynomiale de la limite.

Soient $x_0, x_1, \dots, x_d$ des réels distincts (par exemple les entiers $0, 1, \dots, d$ ).

Par hypothèse de convergence simple, pour chaque indice $i \in \{0, \dots, d\}$ , on a :

\lim_{n \to +\infty} P_n(x_i) = f(x_i)

Considérons l'application d'évaluation :

\Phi : \begin{cases} \mathbb{K}_d[X] \to \mathbb{K}^{d+1} P \mapsto \big(P(x_0), P(x_1), \dots, P(x_d)\big) \end{cases}

Cette application est linéaire. De plus, un polynôme de degré au plus $d$ ayant $d+1$ racines est nul, donc $\ker(\Phi) = \{0\}$ . Comme $\dim(\mathbb{K}_d[X]) = d+1 = \dim(\mathbb{K}^{d+1})$ , l'application $\Phi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Puisque $\mathbb{K}_d[X]$ est de dimension finie, toute application linéaire au départ de celui-ci est continue. En particulier, $\Phi^{-1}$ est continue. La suite $\Phi(P_n)$ converge dans $\mathbb{K}^{d+1}$ vers le vecteur $V = (f(x_0), \dots, f(x_d))$ .

Par continuité de $\Phi^{-1}$ , la suite $P_n = \Phi^{-1}(\Phi(P_n))$ converge dans $\mathbb{K}_d[X]$ vers un polynôme $Q = \Phi^{-1}(V)$ .

On en déduit que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

\lim_{n \to +\infty} P_n(x) = Q(x)

Par unicité de la limite simple, on a $f = Q$ . Ainsi :

\boxed{ f \in \mathbb{K}_d[X] }

2. Convergence uniforme sur tout segment.

Soit $A > 0$ . On travaille sur l'espace vectoriel $E = \mathbb{K}_d[X]$ . On peut définir sur $E$ la norme de la convergence uniforme sur le segment $S = [-A, A]$ par :

\|P\|_S = \sup_{x \in [-A, A]} |P(x)|

Comme $E$ est de dimension finie, toutes les normes sur $E$ sont équivalentes. D'après la question précédente, nous savons que la suite $(P_n)$ converge vers $f$ dans $E$ (pour n'importe quelle norme, par exemple celle associée aux coefficients ou à l'évaluation en $d+1$ points).

Par équivalence des normes, la suite $(P_n)$ converge également vers $f$ pour la norme $\|\cdot\|_S$ . Cela signifie que :

\lim_{n \to +\infty} \|P_n - f\|_S = 0

Par définition de la norme $\|\cdot\|_S$ , cela équivaut à la convergence uniforme de $(P_n)$ vers $f$ sur $[-A, A]$ .

\boxed{ \forall A > 0,   P_n \xrightarrow[n \to +\infty]{u} f \text{ sur } [-A, A] }

L'hypothèse du degré borné est cruciale pour garantir que la limite reste polynomiale.

En dimension finie, la convergence simple sur une base (ou un ensemble d'interpolation) implique la convergence uniforme sur tout compact.