Étude de la fonction êta de Dirichlet

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $s \in \mathbb{R}$. Notons $u_n(s) = \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$. Si $s > 0$, la suite $(1/n^s)_{n \ge 1}$ est positive, décroissante et tend vers 0. D'après le CSSA, la série $\sum u_n(s)$ converge. Si $s \le 0$, le terme général $u_n(s)$ ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
   $$\boxed{D = ]0, +\infty[}$$

2. Régularité $\mathcal{C$^{\infty}.} Posons $f_n(s) = \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = (-1)^{n-1} e^{-s \ln n}$. Chaque $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $D$, et pour tout $k \in \mathbb{N}$ :
   $$f_n^{(k)}(s) = \frac{(-1)^{n+k-1} (\ln n)^k}{n^s}$$
   Soit $[a, b] \subset D$ avec $a > 0$. Pour $n$ suffisamment grand (dès que $\ln n \ge k/a$), la suite $( \frac{(\ln n)^k}{n^s} )_{n}$ est décroissante pour tout $s \in [a, b]$. D'après le CSSA, la série $\sum f_n^{(k)}(s)$ converge simplement sur $D$. De plus, le reste $R_{n,k}(s)$ vérifie :
   $$|R_{n,k}(s)| \le |f_{n+1}^{(k)}(s)| = \frac{(\ln(n+1))^k}{(n+1)^s} \le \frac{(\ln(n+1))^k}{(n+1)^a}$$
   Cette majoration est indépendante de $s \in [a, b]$ et tend vers 0 quand $n \to +\infty$. Il y a donc convergence uniforme de la série des dérivées sur tout compact de $D$.
   $$\boxed{\chi \text{ est de classe } \mathcal{C}^{\infty} \text{ sur } ]0, +\infty[}$$

3. Monotonie au voisinage de $+\infty$. La dérivée est donnée par $\chi'(s) = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n^s}$ (le terme pour $n=1$ est nul).
   $$\chi'(s) = -\frac{\ln 2}{2^s} + \frac{\ln 3}{3^s} - \frac{\ln 4}{4^s} + \dots = -\frac{\ln 2}{2^s} \left( 1 - \frac{\ln 3}{\ln 2} \left(\frac{2}{3}\right)^s + \frac{\ln 4}{\ln 2} \left(\frac{2}{4}\right)^s - \dots \right)$$
   À l'intérieur de la parenthèse, tous les termes pour $n \ge 3$ tendent vers 0 quand $s \to +\infty$. Ainsi :
   $$\chi'(s) \sim -\frac{\ln 2}{2^s}$$
   Comme $-\frac{\ln 2}{2^s} < 0$, $\chi'(s)$ est strictement négative pour $s$ assez grand.
   $$\boxed{\chi \text{ est strictement décroissante au voisinage de } +\infty}$$

4. Limite en $0^{+$.} On remarque que pour $s > 0$ :
   $$\chi(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{(2k-1)^s} - \frac{1}{(2k)^s} \right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2k-1}^{2k} \frac{s}{t^{s+1}} dt$$
   On sait que $\int_1^{+\infty} \frac{s}{t^{s+1}} dt = 1$. Décomposons cette intégrale :
   $$1 = \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2k-1}^{2k} \frac{s}{t^{s+1}} dt + \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2k}^{2k+1} \frac{s}{t^{s+1}} dt = \chi(s) + \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2k}^{2k+1} \frac{s}{t^{s+1}} dt$$
   Par décroissance de $t \mapsto t^{-(s+1)}$, on a :
   $$\int_{2k}^{2k+1} \frac{s}{t^{s+1}} dt \le \int_{2k-1}^{2k} \frac{s}{t^{s+1}} dt \le \int_{2k-2}^{2k-1} \frac{s}{t^{s+1}} dt$$
   En sommant, on obtient que l'intégrale totale (qui vaut 1) est "presque" le double de $\chi(s)$. Précisément, l'écart entre les deux sommes tend vers 0 car il s'agit d'une série alternée convergente en $s=0$. Plus simplement, par encadrement des sommes de Riemann généralisées ou comparaison :
   $$\lim_{s \to 0^+} \chi(s) = \lim_{s \to 0^+} \left( 1 - \chi(s) \right) \implies 2 \lim_{s \to 0^+} \chi(s) = 1$$
   $$\boxed{\lim_{s \to 0^+} \chi(s) = \frac{1}{2}}$$