Inverse d'un opérateur de composition

Résolution.

1. Étude du caractère endomorphisme continu.

   Soit $f \in E$. La fonction $x \mapsto f(bx)$ est la composée de deux fonctions continues ($x \mapsto bx$ et $f$), elle est donc continue sur $\mathbb{R}$. Comme $f$ est bornée, $x \mapsto f(bx)$ l'est aussi, et par combinaison linéaire, $Tf$ est continue et bornée. Ainsi, $T$ est une application de $E$ dans $E$. La linéarité de $T$ découle immédiatement de la linéarité de la composition et de la soustraction des fonctions. Pour la continuité, observons que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

   $$|(Tf)(x)| \le |f(x)| + |a| \cdot |f(bx)| \le \|f\|_\infty + |a| \cdot \|f\|_\infty$$
   En passant au supremum sur $x \in \mathbb{R}$, on obtient :
   $$\|Tf\|_\infty \le (1 + |a|) \|f\|_\infty$$
   L'application linéaire $T$ est donc continue, et sa norme d'opérateur vérifie $|||T||| \le 1 + |a|$.

2. Inversibilité et détermination de $T^{-1$.}

   Considérons l'opérateur linéaire $S : E \to E$ défini par $S(f) : x \mapsto f(bx)$. On remarque que $T = Id_E - aS$. L'opérateur $S$ est clairement linéaire et $\|Sf\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(bx)| \le \|f\|_\infty$. On en déduit que $S$ est un endomorphisme continu de norme $|||S||| \le 1$. Puisque $|a| < 1$, nous avons :

   $$|||aS||| = |a| \cdot |||S||| \le |a| < 1$$
   D'après le cours sur les séries d'opérateurs (ou série de Neumann), l'opérateur $Id_E - aS$ est inversible dans l'algèbre des endomorphismes continus de $E$. Son inverse est donné par :
   $$T^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (aS)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a^n S^n$$
   Explicitons $S^n$. Par récurrence immédiate :
   $$(S^n f)(x) = f(b^n x)$$
   Ainsi, pour toute fonction $g \in E$, on définit $f = T^{-1}g$ par :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n g(b^n x)$$
   Justification de la définition de $f$ : La série de fonctions $\sum a^n g(b^n \cdot)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ car :
   $$\forall n \in \mathbb{N},   \|a^n g(b^n \cdot)\|_\infty \le |a|^n \|g\|_\infty$$
   Comme $|a| < 1$, la série géométrique $\sum |a|^n$ converge. L'espace $(E, \|\cdot\|_\infty)$ étant complet (car $\mathbb{C}$ l'est), la série converge vers un élément de $E$. Vérifions le calcul de $T(f)$ :
   $$T(f)(x) = f(x) - a f(bx) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n g(b^n x) - a \sum_{n=0}^{\infty} a^n g(b^{n+1} x)$$
   $$T(f)(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n g(b^n x) - \sum_{k=1}^{\infty} a^k g(b^{k} x) = a^0 g(b^0 x) = g(x)$$
   De même, $T^{-1}(T g) = g$. L'inverse $T^{-1}$ est un opérateur linéaire dont la norme vérifie :
   $$|||T^{-1}||| \le \sum_{n=0}^{\infty} |a|^n = \frac{1}{1-|a|}$$
   Ceci prouve que $T^{-1}$ est continu. L'application $T$ est donc un homéomorphisme.
   $$\boxed{ \forall g \in E, \forall x \in \mathbb{R},   (T^{-1}g)(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n g(b^n x) }$$