Équicontinuité et convergence uniforme

Soit $S$ un segment de $\mathbb{R}$ . On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $S$ dans $\mathbb{C}$ . On dit que la suite $(f_n)$ est équicontinue si :

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall n \in \mathbb{N}, \forall (x, y) \in S^2,   |x-y| \leq \delta \implies |f_n(x) - f_n(y)| \leq \varepsilon

Soit $M > 0$ . On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $f_n$ est $M$ -lipschitzienne. Démontrer que la suite $(f_n)$ est équicontinue.
On suppose que les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $S$ et que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ sur $S$ . Montrer que la suite $(f_n)$ est équicontinue.
On suppose désormais que la suite $(f_n)$ $(f_{n})$ est équicontinue. Soit $D$ $D$ une partie dense de $S$ $S$ . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Pour tout $d \in D$ , la suite numérique $(f_n(d))_{n \in \mathbb{N}}$ converge.
2. La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $S$ .
3. La suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $S$ .

1.

Pour la question 2, utiliser le théorème de Heine pour la fonction limite $f$ et traiter séparément les premiers termes de la suite.

2.

Pour la question 3, l'implication la plus délicate est $(i) \implies (iii)$ . Utiliser la compacité de $S$ pour extraire un recouvrement fini par des boules de rayon $\delta$ , puis utiliser la densité de $D$ pour choisir des points tests.

3.

Utiliser le critère de Cauchy uniforme pour démontrer la convergence uniforme dans la question 3.

Idées clés

•

Argument en " $\varepsilon/3$ " pour l'équicontinuité de la limite uniforme.

•

Théorème de Heine : continuité uniforme sur un compact.

•

Utilisation de la compacité de $S$ (précompacité) pour passer du local au global.

Résolution.

Supposons que chaque $f_n$ est $M$ -lipschitzienne. Soit $\varepsilon > 0$ . Posons $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $(x, y) \in S^2$ tels que $|x-y| \leq \delta$ , on a : $|f_n(x) - f_n(y)| \leq M |x-y| \leq M \delta$ D'où : $\boxed{|f_n(x) - f_n(y)| \leq \varepsilon}$ La suite est donc équicontinue.
Soit $\varepsilon > 0$ . Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ et que les $f_n$ sont continues, la limite $f$ est continue sur le segment $S$ . D'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur $S$ . Il existe donc $\delta_0 > 0$ tel que pour tout $(x, y) \in S^2$ : $|x-y| \leq \delta_0 \implies |f(x) - f(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ Par convergence uniforme, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$ et tout $x \in S$ , $|f_n(x) - f(x)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ . Alors pour $n \geq N$ et $|x-y| \leq \delta_0$ : $|f_n(x) - f_n(y)| \leq |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f(y)| + |f(y) - f_n(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$ Pour chaque $n \in \{0, \dots, N-1\}$ , $f_n$ est continue sur le segment $S$ , donc uniformément continue (Heine). Il existe $\delta_n > 0$ tel que $|x-y| \leq \delta_n \implies |f_n(x) - f_n(y)| \leq \varepsilon$ . En posant $\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \dots, \delta_{N-1}) > 0$ , on vérifie que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\boxed{|x-y| \leq \delta \implies |f_n(x) - f_n(y)| \leq \varepsilon}$
Équivalences : Les implications $(iii) \implies (ii)$ et $(ii) \implies (i)$ sont triviales. Démontrons $(i) \implies (iii)$ en utilisant le critère de Cauchy uniforme. Soit $\varepsilon > 0$ . Par équicontinuité, il existe $\delta > 0$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, \forall (x, y) \in S^2, |x-y| \leq \delta \implies |f_n(x) - f_n(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ Le segment $S$ est compact, donc il existe une famille finie de points $(x_j)_{1 \leq j \leq p}$ telle que $S \subset \bigcup_{j=1}^p ]x_j - \delta, x_j + \delta[$ . Par densité de $D$ dans $S$ , pour chaque $j$ , on peut choisir $d_j \in D \cap ]x_j - \delta, x_j + \delta[$ . Pour tout $x \in S$ , il existe $j \in \{1, \dots, p\}$ tel que $|x - d_j| < 2\delta$ . Quitte à avoir pris un $\delta$ plus petit initialement, on peut supposer que $|x - d_j| \leq \delta$ . Puisque chaque suite $(f_n(d_j))$ converge pour $j$ fixé, elle est de Cauchy. Il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n, m \geq N$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$ : $|f_n(d_j) - f_m(d_j)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ Alors pour tout $x \in S$ , en choisissant le $d_j$ associé : $|f_n(x) - f_m(x)| \leq |f_n(x) - f_n(d_j)| + |f_n(d_j) - f_m(d_j)| + |f_m(d_j) - f_m(x)|$ En utilisant l'équicontinuité pour le premier et le troisième terme : $|f_n(x) - f_m(x)| \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$ On a donc : $\boxed{\forall n, m \geq N, \sup_{x \in S} |f_n(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon}$ La suite $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme dans l'espace complet $(\mathcal{B}(S, \mathbb{C}), \|\cdot\|_\infty)$ , elle converge donc uniformément.

Confondre la continuité uniforme individuelle de chaque fonction avec l'équicontinuosité de la famille.

Sur un compact, une suite équicontinue converge uniformément si et seulement si elle converge simplement sur une partie dense.