Caractérisation des limites de fonctions lipschitziennes

Résolution.

1. Soit $\varepsilon > 0$. Par hypothèse, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. Il existe donc un entier $N \in \mathbb{N}$ tel que :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   |f(x) - f_N(x)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$$

   Fixons cet entier $N$. La fonction $f_N$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ par hypothèse. Il existe donc un réel $\delta > 0$ tel que :

   $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,   |x - y| \leq \delta \implies |f_N(x) - f_N(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3}$$

   Soient alors $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $|x - y| \leq \delta$. Appliquons l'inégalité triangulaire :

   $$|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(y)| + |f_N(y) - f(y)|$$

   En utilisant les deux majorations précédentes, nous obtenons :

   $$|f(x) - f(y)| \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

   Nous avons donc montré que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x-y| \leq \delta$ entraîne $|f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$.

   $$\boxed{f \text{ est uniformément continue sur } \mathbb{R}}$$

2. Notons $\mathcal{L}$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{UC}$ l'ensemble des fonctions uniformément continues sur $\mathbb{R}$. Nous cherchons l'adhérence de $\mathcal{L}$ pour la norme infinie.

   Sens direct : $\overline{\mathcal{L$}^{\|\cdot\|_\infty} \subset \mathcal{UC}} Soit $f$ une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. Comme toute fonction lipschitzienne est uniformément continue, $f$ est une limite uniforme de fonctions uniformément continues. D'après la question 1, on en déduit immédiatement que $f$ est uniformément continue.

   Sens réciproque : $\mathcal{UC$ \subset \overline{\mathcal{L}}^{\|\cdot\|_\infty}} Soit $g \in \mathcal{UC}$. Montrons que $g$ est limite uniforme d'une suite de fonctions lipschitziennes. Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $g$ est uniformément continue, il existe $\alpha > 0$ tel que :

   $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,   |x - y| \leq \alpha \implies |g(x) - g(y)| \leq \varepsilon$$

   Construisons une fonction $f_\varepsilon$ affine sur chaque intervalle $[n\alpha, (n+1)\alpha]$ pour $n \in \mathbb{Z}$, telle que :

   $$\forall n \in \mathbb{Z},   f_\varepsilon(n\alpha) = g(n\alpha)$$

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $x \in [n\alpha, (n+1)\alpha]$. On peut écrire $x = (1-t)n\alpha + t(n+1)\alpha$ avec $t \in [0,1]$. Alors $f_\varepsilon(x) = (1-t)g(n\alpha) + tg((n+1)\alpha)$ par linéarité. On a alors :

   $$|f_\varepsilon(x) - g(x)| = |(1-t)(g(n\alpha) - g(x)) + t(g((n+1)\alpha) - g(x))|$$

   En utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que $|n\alpha - x| \leq \alpha$ et $|(n+1)\alpha - x| \leq \alpha$ :

   $$|f_\varepsilon(x) - g(x)| \leq (1-t)\varepsilon + t\varepsilon = \varepsilon$$

   Ainsi, $\|f_\varepsilon - g\|_\infty \leq \varepsilon$. De plus, $f_\varepsilon$ est lipschitzienne. En effet, sur chaque intervalle $[n\alpha, (n+1)\alpha]$, sa pente est constante et vaut :

   $$\left| \frac{g((n+1)\alpha) - g(n\alpha)}{\alpha} \right| \leq \frac{\varepsilon}{\alpha}$$
   La fonction $f_\varepsilon$ est continue et sa dérivée est bornée (presque partout) par $\frac{\varepsilon}{\alpha}$, donc $f_\varepsilon$ est $\frac{\varepsilon}{\alpha}$-lipschitzienne.

   En prenant $\varepsilon = 1/k$, on construit une suite de fonctions lipschitziennes convergeant uniformément vers $g$.

   $$\boxed{\text{L'ensemble cherché est l'ensemble des fonctions uniformément continues sur } \mathbb{R}}$$