Limite d'une somme alternée par comparaison intégrale

Soit $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ , décroissante et de limite nulle en $+\infty$ .

Pour tout $x > 0$ , on définit la fonction $g$ par :

g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} f(nx)

Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^{+}$ .

1.

Justifier d'abord la convergence de la série définissant $g(x)$ pour tout $x > 0$ en utilisant le critère des séries alternées.

2.

Exprimer le terme général de la somme regroupée par paires, $f(2kx) - f((2k+1)x)$ , comme une intégrale de la dérivée $f'$ .

3.

Interpréter la somme obtenue comme une somme de Riemann pour une intégrale sur $[0, +\infty[$ .

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (Leibniz).

•

Lien entre somme et intégrale via le théorème fondamental de l'analyse.

•

Convergence des sommes de Riemann sur un intervalle non borné pour une fonction intégrable.

1. Existence de $g(x)$ .

Fixons $x > 0$ . La suite $(f(nx))_{n \in \mathbb{N}}$ est positive, décroissante (car $f$ est décroissante) et tend vers $0$ (car $f(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$ ).

D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum (-1)^n f(nx)$ converge.

La fonction $g$ est donc bien définie sur $]0, +\infty[$ .

2. Transformation de l'expression de $g(x)$ .

Comme la série converge, on peut grouper les termes par paquets de deux :

g(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( f(2kx) - f((2k+1)x) \right)

D'après le théorème fondamental de l'analyse, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a :

f(2kx) - f((2k+1)x) = - \int_{2kx}^{(2k+1)x} f'(t)   dt

Comme $f$ est décroissante, $f' \leq 0$ , donc $-f' = |f'|$ . On peut écrire :

g(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_{2kx}^{(2k+1)x} |f'(t)|   dt

3. Analyse de la limite.

Introduisons la fonction $h = |f'| = -f'$ . Puisque $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ , $h$ est continue. De plus, $h$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ car :

\int_0^X h(t)   dt = \int_0^X -f'(t)   dt = f(0) - f(X) \xrightarrow[X \to +\infty]{} f(0)

Ainsi, $\int_0^{+\infty} h(t) dt = f(0)$ .

L'expression de $g(x)$ peut se réécrire à l'aide de la fonction caractéristique $\mathbb{1}_I$ :

g(x) = \int_0^{+\infty} h(t) \cdot \chi_x(t)   dt   \text{où}   \chi_x(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{1}_{[2kx, (2k+1)x]}(t)

La fonction $\chi_x$ est une fonction "créneau" périodique de période $2x$ , valant $1$ sur la première moitié de la période et $0$ sur la seconde.

Intuitivement, lorsque $x \to 0$ , la fonction $\chi_x$ oscille très rapidement et son effet sous l'intégrale se moyenne à sa valeur moyenne sur une période, à savoir $1/2$ .

4. Preuve rigoureuse par les sommes de Riemann.

Pour chaque intervalle $[2kx, 2(k+1)x]$ , appliquons la formule de la moyenne ou utilisons la continuité de $h$ . Une méthode plus directe consiste à voir que :

2g(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} 2 \int_{2kx}^{(2k+1)x} h(t)   dt

Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque $h$ est intégrable, il existe $A > 0$ tel que $\int_A^{+\infty} h(t) dt < \varepsilon$ . Sur l'intervalle compact $[0, A]$ , la somme de Riemann converge vers l'intégrale.

De façon plus simple, on remarque que $g(x)$ est une "demi-somme" de Riemann. Posons $h = -f'$ .

g(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_{2kx}^{(2k+1)x} h(t)   dt

Comme

h \geq 0

, par le théorème des accroissements finis pour les intégrales, il existe

\xi_k \in [2kx, (2k+1)x]

tel que :

\int_{2kx}^{(2k+1)x} h(t)   dt = x \cdot h(\xi_k)

On a alors :

g(x) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} (2x) \cdot h(\xi_k)

Cette expression est une somme de Riemann associée à l'intégrale de $h$ sur $[0, +\infty[$ avec un pas de $2x$ . Puisque $h$ est continue et intégrable, cette somme converge vers :

\lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} h(t)   dt

Or, nous avons vu que $\int_0^{+\infty} h(t) dt = f(0)$ .

On en conclut :

\boxed{\lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{f(0)}{2}}

Interversion limite-somme illicite car la série ne converge pas en x=0.

Regroupement par paires pour transformer une série alternée en série à termes positifs exploitable par comparaison intégrale.