Produit infini et équation fonctionnelle d'Euler

Résolution.

1. Convergence simple.
   1. Soit $x \in \mathbb{R}$. Comme $|r| < 1$, on a $r^k x \to 0$ quand $k \to +\infty$. S'il existe $k_0 \in \mathbb{N}$ tel que $r^{k_0}x = 1$, alors pour tout $n \geq k_0$, $f_n(x) = 0$. La suite est stationnaire donc converge vers $0$. Sinon, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \geq N$, $|r^k x| < 1$. Pour $n > N$, on peut écrire :
      $$\ln \left( \prod_{k=N}^{n} (1 - r^k x) \right) = \sum_{k=N}^n \ln(1 - r^k x)$$
      Comme $\ln(1 - r^k x) \sim -r^k x$ au voisinage de l'infini et que la série géométrique $\sum r^k$ converge absolument, la série des logarithmes converge. Par continuité de l'exponentielle, le produit partiel converge vers une limite finie (non nulle pour la partie à partir de $N$).
      $$\boxed{f(x) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^n (1 - r^k x) \text{ existe pour tout } x \in \mathbb{R}}$$

   2. Un produit converge vers $0$ si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
      $$\boxed{f(x) = 0 \iff \exists k \in \mathbb{N}, x = \frac{1}{r^k}}$$

2. Continuité de $f$. Soit $A > 0$. On étudie la continuité sur $[-A, A]$. Il existe $N$ tel que pour tout $k \geq N$, $\forall x \in [-A, A]$, $|r^k x| \leq |r|^k A < 1$. Considérons la série de fonctions $S(x) = \sum_{k=N}^\infty u_k(x)$ où $u_k(x) = \ln(1 - r^k x)$. Comme $|u_k(x)| \sim |r^k x| \leq A|r|^k$, la série converge normalement (et donc uniformément) sur $[-A, A]$. Les fonctions $u_k$ étant continues, $S$ est continue sur $[-A, A]$. Par composition avec l'exponentielle et multiplication par le polynôme $\prod_{k=0}^{N-1}(1-r^kx)$, $f$ est continue sur tout $[-A, A]$.
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$

3. Équation fonctionnelle.
   1. On remarque que :
      $$f_{n+1}(x) = (1-x) \prod_{k=1}^{n+1} (1 - r^k x) = (1-x) \prod_{j=0}^n (1 - r^j (rx)) = (1-x) f_n(rx)$$
      En passant à la limite quand $n \to +\infty$ :
      $$\boxed{f(x) = (1-x)f(rx)}$$

   2. Soit $g$ une telle fonction. Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $$g(x) = \left( \prod_{k=0}^n (1 - r^k x) \right) g(r^{n+1} x) = f_n(x) g(r^{n+1} x)$$
      Puisque $g$ est continue en $0$ et que $r^{n+1} x \to 0$, alors $g(r^{n+1} x) \to g(0)$. Par ailleurs $f_n(x) \to f(x)$. À la limite, on obtient $g(x) = f(x)g(0)$. En posant $\lambda = g(0)$, on a bien $g = \lambda f$. Réciproquement, $\lambda f$ est bien continue en $0$ et vérifie l'équation.
      $$\boxed{g = \lambda f}$$

4. Application. On a $h_n(x) = \frac{f_n(x)}{1-x}$ pour $x \neq 1$. Donc $F(x) = \frac{f(x)}{1-x}$. L'équation $f(x) = (1-x)f(rx)$ devient $(1-x)F(x) = (1-x)(1-rx)F(rx)$. Pour $x \neq 1$, on a $F(x) = (1-rx)F(rx)$. Par continuité, ceci s'étend à $\mathbb{R}$. Comme $f(0)=1$, on a $F(0)=1$, ce qui assure l'unicité par le même raisonnement qu'en 3(b).
   $$\boxed{F \text{ est l'unique solution avec } F(0)=1}$$