Comportement d'une série en l'infini

Soit $f_n(x) = \frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$ pour $n \geq 1$ et $x \geq 0$ . On pose $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$ .

Montrer que $f$ est continue sur $[0, +\infty[$ et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ .
La série converge-t-elle normalement sur $[0, +\infty[$ ?
Prouver que pour tout $x > 0$ et tout $N \in \mathbb{N}^*$ , si $x \geq N$ , alors $f(x) \geq \sum_{k=1}^N \frac{1}{2\sqrt{k}}$ .
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ , puis montrer que $f(x) = o(x)$ au voisinage de $+\infty$ .

1.

Pour la continuité, vérifier la convergence normale sur $[0, M]$ .

2.

Pour la convergence normale sur $\mathbb{R}_+$ , regarder la limite de $f_n(x)$ quand $x \to \infty$ .

3.

Pour l'inégalité, minorer chaque terme de la somme partielle en utilisant $x \geq n$ .

4.

Pour le $o(x)$ , diviser par $x$ et utiliser le théorème de convergence dominée pour les séries.

Idées clés

•

Convergence normale locale vs globale.

•

Minoration par une somme partielle divergente.

•

Théorème d'interversion limite-somme.

Résolution.

Soit $M > 0$ . Pour $x \in [0, M]$ , $0 \leq f_n(x) \leq \frac{M}{n^{3/2}}$ . La série $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge, donc il y a convergence normale sur $[0, M]$ . Chaque $f_n$ est continue, donc $f$ est continue sur $[0, +\infty[$ . Pour la dérivabilité, $f_n'(x) = \frac{\sqrt{n}(n+x) - x\sqrt{n}}{\sqrt{n}^2(n+x)^2} = \frac{\sqrt{n}}{(n+x)^2}$ . Sur $[a, +\infty[$ , $|f_n'(x)| \leq \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$ , d'où la classe $\mathcal{C}^1$ .
On a $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Si la série convergeait normalement sur $\mathbb{R}_+$ , le terme général $f_n$ tendrait uniformément vers $0$ , ce qui impliquerait que $\|f_n\|_\infty \to 0$ . Or $\|f_n\|_\infty \geq \lim_{x \to \infty} f_n(x) = 1/\sqrt{n}$ . $\boxed{\text{Il n'y a pas convergence normale sur } \mathbb{R}_+}$
Soit $x \geq N$ . Pour tout $k \in \{1, \dots, N\}$ , on a $k \leq N \leq x$ . Donc $k+x \leq x+x = 2x$ . On en déduit $f_k(x) = \frac{x}{\sqrt{k}(k+x)} \geq \frac{x}{\sqrt{k}(2x)} = \frac{1}{2\sqrt{k}}$ . Par positivité des termes restants : $\boxed{f(x) \geq \sum_{k=1}^N \frac{1}{2\sqrt{k}}}$
La somme $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ diverge vers $+\infty$ . L'inégalité précédente montre que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ . Pour le $o(x)$ , on étudie $\frac{f(x)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(n+x)}$ . Soit $g_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n}(n+x)}$ . Pour $x \geq 1$ , $|g_n(x)| \leq \frac{1}{n^{3/2}}$ . Par convergence dominée sur les séries : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} g_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} 0 = 0$ $\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{=} o(x)}$

Confusion entre continuité et convergence normale globale

Minoration par une somme partielle divergente