Étude asymptotique de sommes de séries

1. Étude de la fonction $f$.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x=0$, la série diverge grossièrement car le terme général vaut $1$. Si $x \neq 0$, on a $\frac{1}{1+n^2x^2} \sim \frac{1}{x^2 n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann), la série définissant $f$ converge.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*}$$

2. Équivalent en $0^+$. Pour $x > 0$, la fonction $t \mapsto \frac{1}{1+t^2x^2}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2x^2} \le \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+n^2x^2} \le \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2x^2}$$

   Calculons l'intégrale $I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+(tx)^2}$. Par le changement de variable $u=tx$ ($du = x dt$) :

   $$I(x) = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = \frac{\pi}{2x}$$

   Comme $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2x^2} = \frac{\pi}{2x} - \frac{\arctan(x)}{x} = \frac{\pi}{2x} - 1 + o(1)$, on en déduit :

   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\pi}{2x}}$$

3. Équivalent en $+\infty$. Étudions la limite de $x^2 f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{1+n^2x^2}$. Posons $u_n(x) = \frac{x^2}{1+n^2x^2}$. Pour chaque $n \ge 1$, $\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \frac{1}{n^2}$. De plus, $\forall x \in \mathbb{R}, |u_n(x)| \le \frac{x^2}{n^2x^2} = \frac{1}{n^2}$, qui est le terme général d'une série convergente indépendante de $x$. Par le théorème de convergence dominée sur les séries :
   $$\lim_{x \to +\infty} x^2 f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x^2}}$$

2. Étude de la fonction $g$.

1. Domaine et continuité. Soit $v_n(x) = \frac{x}{x^2+n^2}$. Pour $x \in [-A, A]$, $|v_n(x)| \le \frac{A}{n^2}$. La série $\sum v_n$ converge donc normalement (et uniformément) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Comme chaque $v_n$ est continue sur $\mathbb{R}$, $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$

2. Équivalent en $0^+$. On a $g(x) = x \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+x^2}$. La série $\sum \frac{1}{n^2+x^2}$ converge normalement sur un voisinage de $0$ (dominée par $1/n^2$). Sa somme est donc continue en $0$. Sa limite en $0$ est $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
   $$\boxed{g(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\pi^2}{6} x}$$

3. Équivalent en $+\infty$. Pour $x > 0$, considérons l'intégrale $J(x) = \int_0^{+\infty} \frac{x}{x^2+t^2} dt$. En posant $u = t/x$, on obtient $J(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} du = \frac{\pi}{2}$. Par décroissance de $t \mapsto \frac{x}{x^2+t^2}$ sur $[0, +\infty[$ :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{x}{x^2+t^2} dt \le g(x) \le \int_0^{+\infty} \frac{x}{x^2+t^2} dt$$
   Or $\int_1^{+\infty} \frac{x}{x^2+t^2} dt = \frac{\pi}{2} - \arctan(1/x) \xrightarrow{x \to +\infty} \frac{\pi}{2}$. Par encadrement, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \pi/2$.
   $$\boxed{g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi}{2}}$$