Convergence uniforme d'un reste exponentiel

Résolution.

1. Convergence simple. Pour tout $x \geq 0$, on sait que $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-x)^k}{k!} = e^{-x}$. En passant à la limite dans l'expression de $f_n(x)$ :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = e^{-2x} - e^{-x} (e^{-x}) = e^{-2x} - e^{-2x} = 0$$
   La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}_+$.

2. Majoration du reste. On peut écrire $f_n(x) = e^{-x} \left( e^{-x} - \sum_{k=0}^{n} \frac{(-x)^k}{k!} \right)$. Soit $h(t) = e^{-t}$. La fonction $h$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $h^{(k)}(t) = (-1)^k e^{-t}$. L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ entre $0$ et $x$ donne :
   $$\left| h(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{h^{(k)}(0)}{k!} x^k \right| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{t \in [0,x]} |h^{(n+1)}(t)|$$
   Comme $|h^{(n+1)}(t)| = e^{-t}$ et que cette fonction est décroissante sur $[0,x]$, le sup est atteint en $t=0$ et vaut $1$. D'où :
   $$\left| e^{-x} - \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k x^k}{k!} \right| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$
   En multipliant par $e^{-x}$ (positif), on obtient :
   $$\boxed{|f_n(x)| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^{-x}}$$

3. Convergence uniforme. Posons $g_n(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} e^{-x}$. On a montré à l'exercice précédent que le maximum de $x \mapsto x^m e^{-x}$ est atteint en $x=m$. Ici, le maximum de $g_n$ est atteint en $x = n+1$ :
   $$\|g_n\|_{\infty} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} e^{-(n+1)}$$
   D'après l'équivalent de Stirling utilisé précédemment :
   $$\|g_n\|_{\infty} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi (n+1)}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   Par majoration, $\|f_n\|_{\infty} \leq \|g_n\|_{\infty}$, donc $\|f_n\|_{\infty} \to 0$.
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers 0 sur } \mathbb{R}_+}$$