Comportement de séries hyperboliques

On considère les trois fonctions suivantes définies par des séries :

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sinh(nx)},   g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sinh^2(nx)}   \text{et}   h(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\cosh(nx)}

Déterminer l'ensemble de définition de ces trois fonctions.
Étudier la convergence uniforme de ces séries sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ . En déduire que ces fonctions sont continues sur $]0, +\infty[$ .
Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ , $g(x)$ et $h(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ .

1.

Pour la convergence, utiliser l'équivalent $\sinh(u) \sim \frac{1}{2}e^u$ lorsque $u \to +\infty$ .

2.

Pour la continuité, montrer la convergence normale sur les compacts de l'ensemble de définition.

3.

Pour les équivalents en $0^+$ , utiliser une comparaison série-intégrale. On pourra effectuer le changement de variable $u = xt$ dans l'intégrale associée.

Idées clés

•

Étude de la convergence par comparaison à des séries géométriques.

•

Convergence normale sur $[a, +\infty[$ pour la régularité.

•

Comparaison série-intégrale pour le comportement asymptotique en $0$ .

1. Domaines de définition.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour $f$ et $g$ , le terme général n'est défini que si $nx \neq 0$ pour tout $n \geq 1$ , donc $x \neq 0$ .

Par symétrie (imparité de $\sinh$ ), on restreint l'étude à $x > 0$ . Lorsque $n \to +\infty$ :

\sinh(nx) = \frac{e^{nx} - e^{-nx}}{2} \sim \frac{e^{nx}}{2}

On en déduit les équivalents des termes généraux :

\frac{1}{\sinh(nx)} \sim 2e^{-nx}   \text{et}   \frac{1}{\sinh^2(nx)} \sim 4e^{-2nx}

Comme $x > 0$ , $e^{-x} < 1$ , ces termes sont les restes de séries géométriques convergentes. Par symétrie, les séries convergent aussi pour $x < 0$ .

Pour $h$ , le terme $n=0$ vaut $1/\cosh(0) = 1$ . Pour $x \neq 0$ , le raisonnement est identique car $\cosh(nx) \sim \frac{e^{n|x|}}{2}$ . Pour $x=0$ , $1/\cosh(0) = 1$ , la série $\sum 1$ diverge grossièrement.

\boxed{ D_f = D_g = \mathbb{R}^*   \text{et}   D_h = \mathbb{R}^* }

2. Convergence uniforme et continuité.

Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ et $n \geq 1$ :

\sinh(nx) \geq \sinh(na) > 0

Ainsi :

\left| \frac{1}{\sinh(nx)} \right| \leq \frac{1}{\sinh(na)}

Comme la série $\sum \frac{1}{\sinh(na)}$ converge, la série définissant $f$ converge normalement, donc uniformément, sur $[a, +\infty[$ .

Chaque terme $x \mapsto \frac{1}{\sinh(nx)}$ étant continu sur $]0, +\infty[$ , la somme $f$ est continue sur tout $[a, +\infty[$ , donc sur $]0, +\infty[$ . Le raisonnement est identique pour $g$ et $h$ .

3. Équivalents en $0^+$ .

Considérons $f(x)$ pour $x \to 0^+$ . La fonction $t \mapsto \frac{1}{\sinh(xt)}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale :

\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sinh(xt)} \leq f(x) \leq \frac{1}{\sinh(x)} + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sinh(xt)}

Effectuons le changement de variable $u = xt$ ( $du = x dt$ ) dans l'intégrale :

I(x) = \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\sinh(xt)} = \frac{1}{x} \int_x^{+\infty} \frac{du}{\sinh(u)}

Au voisinage de $0$ , $\frac{1}{\sinh u} = \frac{1}{u} + O(u)$ . Ainsi :

\int_x^1 \frac{du}{\sinh u} = \int_x^1 \left( \frac{1}{u} + O(u) \right) du = -\ln(x) + O(1)

Puisque $\int_1^{+\infty} \frac{du}{\sinh u}$ converge, on a $\int_x^{+\infty} \frac{du}{\sinh u} = -\ln x + O(1)$ . Comme $\frac{1}{\sinh x} \sim \frac{1}{x}$ est négligeable devant $\frac{\ln x}{x}$ , on obtient :

\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\frac{\ln x}{x} }

Pour $g(x)$ , on utilise $J(x) = \frac{1}{x} \int_x^{+\infty} \frac{du}{\sinh^2 u}$ . Au voisinage de $0$ , $\frac{1}{\sinh^2 u} \sim \frac{1}{u^2}$ . L'intégrale $\int_x^{+\infty} \frac{du}{\sinh^2 u}$ est dominée par sa borne inférieure :

\int_x^{+\infty} \frac{du}{\sinh^2 u} \sim \int_x^1 \frac{du}{u^2} \sim \frac{1}{x}

D'où :

\boxed{ g(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x^2} }

Pour $h(x)$ , avec $n=0$ inclus, on compare à $K(x) = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{\cosh(xt)} = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{du}{\cosh u}$ . On calcule $L = \int_0^{+\infty} \frac{du}{\cosh u} = \int_0^{+\infty} \frac{2e^u}{e^{2u}+1} du = 2[\arctan(e^u)]_0^{+\infty} = 2(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$ . D'où :

\boxed{ h(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\pi}{2x} }

Oubli du domaine de définition ou du terme n=0

Comparaison série-intégrale pour les équivalents