Comportement radial d'une série entière à termes positifs

Soit $\sum a_n t^n$ une série entière de rayon de convergence $R \geq 1$ . On définit, pour tout $t \in [0, 1[$ , la fonction :

f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n

On suppose dans cette question que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $a_n \geq 0$ . Montrer que la série $\sum a_n$ converge si et seulement si la fonction $f$ admet une limite finie lorsque $t$ tend vers $1$ par valeurs inférieures.
On considère le cas où $a_n = (-1)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . La propriété établie à la question précédente reste-t-elle vraie ? Justifier.

1.

Pour le sens direct de la question 1, on pourra utiliser le théorème de la limite radiale d'Abel ou exploiter la croissance de la somme partielle.

2.

Pour le sens réciproque de la question 1, montrer que pour tout entier $p$ fixé, la somme partielle $\sum_{n=0}^p a_n$ est majorée par la limite $L$ .

3.

Pour la question 2, calculer explicitement $f(t)$ pour $t \in [0, 1[$ et étudier la nature de $\sum a_n$ .

Idées clés

•

Monotonie des sommes partielles (pour $a_n \ge 0$ ).

•

Interversion limite-somme pour des suites croissantes.

•

Contre-exemple classique des séries alternées divergentes.

Résolution.

On suppose que $\forall n \in \mathbb{N}, a_n \geq 0$ . Sens direct ( $\implies$ ) : Supposons que la série $\sum a_n$ converge. Notons $S = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ . Pour tout $t \in [0, 1[$ , comme $0 \leq t < 1$ et $a_n \geq 0$ , on a l'inégalité : $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq a_n t^n \leq a_n$ Par sommation de ces inégalités, il vient : $\forall t \in [0, 1[, f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = S$ De plus, la fonction $f$ est croissante sur $[0, 1[$ car sa dérivée $f'(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n t^{n-1}$ est positive sur cet intervalle. Étant croissante et majorée par $S$ , la fonction $f$ admet une limite finie $L$ en $1^-$ telle que $L \leq S$ . D'après le théorème d'Abel (ou par convergence uniforme sur $[0, 1]$ de la série de fonctions continues si la série converge), on a même : $\boxed{ L = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n }$
Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons que $f(t)$ tende vers une limite finie $L$ quand $t \to 1^-$ . Soit $p \in \mathbb{N}$ un entier fixé. Pour tout $t \in [0, 1[$ , on a :
$\sum_{n=0}^{p} a_n t^n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n = f(t)$ En faisant tendre $t$ vers $1$ dans le membre de gauche (qui est un polynôme, donc continu en $1$ ), on obtient : $\sum_{n=0}^{p} a_n = \lim_{t \to 1^-} \sum_{n=0}^{p} a_n t^n \leq \lim_{t \to 1^-} f(t) = L$ La suite des sommes partielles $(S_p)_{p \in \mathbb{N}}$ définie par $S_p = \sum_{n=0}^p a_n$ est croissante (puisque $a_n \geq 0$ ) et majorée par $L$ . D'après le théorème de la limite monotone, la suite $(S_p)$ converge. Donc la série $\sum a_n$ converge.
Analysons le cas $a_n = (-1)^n$ . Le rayon de convergence de la série entière $\sum (-1)^n t^n$ est $1$ . Pour tout $t \in [0, 1[$ , on reconnaît une série géométrique : $f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-t)^n = \frac{1}{1 - (-t)} = \frac{1}{1 + t}$ On constate que la limite existe : $\lim_{t \to 1^-} f(t) = \frac{1}{2}$ Cependant, la série $\sum a_n = \sum (-1)^n$ est grossièrement divergente car son terme général ne tend pas vers $0$ . $\boxed{\text{La propriété est donc fausse sans l'hypothèse de positivité.}}$

Croire que l'existence de la limite radiale implique toujours la convergence de la série au bord.

Pour les séries entières à coefficients positifs, la convergence au bord est équivalente à la convergence de la fonction vers une limite finie.