Série de fonctions et contrainte de produit

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ . On suppose que pour tout $x \in [0,1]$ et pour tout couple d'entiers $(n, m) \in \mathbb{N}^2$ , on a l'inégalité suivante :

|f_n(x) f_m(x)| \le 2^{-|n-m|}

Démontrer que pour tout $x \in [0,1]$ , la série $\sum f_n(x)$ est absolument convergente.
Montrer que la fonction somme $S : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$ est bornée sur $[0,1]$ .
La convergence de la série de fonctions $\sum f_n$ est-elle nécessairement uniforme sur $[0,1]$ ?

1.

Pour la convergence, fixer $x$ et considérer le cas où il existe un indice $n_0$ tel que $f_{n_0}(x) \neq 0$ . Exprimer $|f_n(x)|$ en fonction de $|f_{n_0}(x)|$ .

2.

Pour montrer que la somme est bornée, on peut majorer la quantité $\left( \sum_{n=0}^N |f_n(x)| \right)^2$ ou utiliser une majoration directe de la somme en fonction de $A(x) = \sup_n |f_n(x)|$ .

3.

Pour la convergence uniforme, construire un contre-exemple où une "bosse" de hauteur constante se déplace vers l'infini lorsque $x$ varie.

Idées clés

•

Comparaison à une série géométrique.

•

Étude d'une fonction de la borne supérieure des termes.

•

Utilisation du reste d'une série pour infirmer la convergence uniforme.

Résolution.

Soit $x \in [0,1]$ . Si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_n(x) = 0$ , la convergence est triviale. Supposons qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $f_{n_0}(x) \neq 0$ . En utilisant l'hypothèse avec $m = n_0$ , on obtient pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|f_n(x)| \le \frac{1}{|f_{n_0}(x)|} 2^{-|n-n_0|}$ La suite $(|f_n(x)|)_{n \ge n_0}$ est donc majorée par le terme général d'une série géométrique convergente de raison $1/2$ . Par théorème de comparaison pour les séries à termes positifs : $\boxed{\text{La série } \sum f_n(x) \text{ converge absolument pour tout } x \in [0,1].}$
Posons $A(x) = \sup_{n \in \mathbb{N}} |f_n(x)|$ . En prenant $n=m$ dans l'inégalité initiale, on a $|f_n(x)|^2 \le 1$ , donc $A(x) \le 1$ . Si $A(x) = 0$ , la somme est nulle. Si $A(x) > 0$ , pour tout $\varepsilon \in ]0, A(x)[$ , il existe $n_x \in \mathbb{N}$ tel que $|f_{n_x}(x)| \ge A(x) - \varepsilon$ . L'inégalité donne $|f_n(x)| \le \frac{1}{A(x)-\varepsilon} 2^{-|n-n_x|}$ . En faisant tendre $\varepsilon$ vers 0, on obtient $|f_n(x)| \le \frac{1}{A(x)} 2^{-|n-n_x|}$ . On a aussi $|f_n(x)| \le A(x)$ par définition. Ainsi : $|S(x)| \le \sum_{n=0}^{+\infty} |f_n(x)| \le \sum_{n=0}^{+\infty} \min \left( A(x), \frac{1}{A(x)} 2^{-|n-n_x|} \right)$ Notons $g(A) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \min(A, \frac{1}{A} 2^{-|k|})$ . Cette somme est convergente pour tout $A \in ]0,1]$ . On montre que $g(A)$ est bornée sur $]0,1]$ . En effet, soit $k_0$ le plus grand entier tel que $2^{-k_0} \ge A^2$ . Alors : $g(A) \le A(2k_0+1) + 2 \sum_{k=k_0+1}^{+\infty} \frac{1}{A} 2^{-k} = A(2k_0+1) + \frac{4}{A} 2^{-k_0-1}$ Comme $k_0 \le \frac{2\ln(1/A)}{\ln 2}$ , le terme $A \cdot k_0$ tend vers 0 quand $A \to 0$ . La fonction $g$ est continue sur $]0,1]$ et prolongeable par continuité en 0. $\boxed{S \text{ est bornée sur } [0,1].}$
Non, la convergence n'est pas nécessairement uniforme. Considérons la suite de fonctions définie par $f_n(x) = 2^{-|n - \lfloor 1/x \rfloor|}$ pour $x \in ]0,1]$ et $f_n(0) = 0$ . Cette suite vérifie l'hypothèse (par l'inégalité triangulaire sur la valeur absolue dans l'exposant). Cependant, pour $x_k = 1/k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ , on a $f_k(x_k) = 1$ . Le reste de rang $N$ vérifie $R_N(x_{N+1}) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x_{N+1}) \ge f_{N+1}(x_{N+1}) = 1$ . Le reste ne converge pas uniformément vers 0 sur $]0,1]$ . $\boxed{\text{La convergence n'est pas nécessairement uniforme.}}$

Ne pas confondre convergence simple et normale sans vérifier l'uniformité du majorant.

Une somme de série de fonctions peut être bornée même sans convergence uniforme.