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Somme de limites de fonctions continues

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Soit (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}. On suppose que :

  • Chaque fonction fnf_n est la limite simple d'une suite de fonctions continues sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, ∥fn∥∞≤2−n\|f_n\|_\infty \le 2^{-n}.
Démontrer que la fonction gg définie par g(x)=∑n=0+∞fn(x)g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) est également la limite simple d'une suite de fonctions continues sur R\mathbb{R}.

1.

Soit (fn,k)k∈N(f_{n,k})_{k \in \mathbb{N}} une suite de fonctions continues convergeant simplement vers fnf_n.

2.

Le problème est que ∑nfn,k\sum_{n} f_{n,k} peut ne pas converger si les fn,kf_{n,k} ne sont pas bien contrôlées.

3.

Utiliser un troncature : définir hn,k(x)=min⁡(max⁡(fn,k(x),−2−n),2−n)h_{n,k}(x) = \min(\max(f_{n,k}(x), -2^{-n}), 2^{-n}).

4.

Montrer que ∑n=0+∞hn,k\sum_{n=0}^{+\infty} h_{n,k} définit une fonction continue HkH_k, puis étudier la limite simple de (Hk)(H_k).

Idées clés

•

Troncature pour obtenir la convergence normale.

•

Théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions (convergence normale).

•

Interversion de limites via une majoration uniforme.

Résolution.

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Par hypothèse, il existe une suite (fn,k)k∈N(f_{n,k})_{k \in \mathbb{N}} de fonctions continues telle que fn,k→sfnf_{n,k} \xrightarrow{s} f_n. Pour garantir la convergence de la série par rapport à nn, nous modifions ces suites. Posons :

hn,k(x)=max⁡(−2−n,min⁡(2−n,fn,k(x)))h_{n,k}(x) = \max\left( -2^{-n}, \min(2^{-n}, f_{n,k}(x)) \right)

1. Propriétés de hn,kh_{n,k :}

  • hn,kh_{n,k} est continue comme composée et maximum/minimum de fonctions continues.
  • Par construction, ∀x∈R,∣hn,k(x)∣≤2−n\forall x \in \mathbb{R}, |h_{n,k}(x)| \le 2^{-n}, donc ∥hn,k∥∞≤2−n\|h_{n,k}\|_\infty \le 2^{-n}.
  • Puisque ∣fn(x)∣≤2−n|f_n(x)| \le 2^{-n}, la convergence simple fn,k(x)→fn(x)f_{n,k}(x) \to f_n(x) implique hn,k(x)→fn(x)h_{n,k}(x) \to f_n(x) quand k→+∞k \to +\infty.

2. Construction de la suite (Hk)(H_k) : Pour chaque k∈Nk \in \mathbb{N}, on définit la fonction HkH_k par :

Hk(x)=∑n=0+∞hn,k(x)H_k(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} h_{n,k}(x)
La série ∑nhn,k\sum_n h_{n,k} converge normalement sur R\mathbb{R} car ∥hn,k∥∞≤2−n\|h_{n,k}\|_\infty \le 2^{-n} et ∑2−n\sum 2^{-n} converge. D'après le cours, la somme d'une série normalement convergente de fonctions continues est continue.
∀k∈N,Hk est continue sur R.\boxed{\forall k \in \mathbb{N}, H_k \text{ est continue sur } \mathbb{R}.}

3. Convergence simple de (Hk)(H_k) vers gg : Soit x∈Rx \in \mathbb{R} et ε>0\varepsilon > 0. Fixons NN tel que ∑n=N+1+∞2−n<ε3\sum_{n=N+1}^{+\infty} 2^{-n} < \frac{\varepsilon}{3}.

∣Hk(x)−g(x)∣=∣∑n=0N(hn,k(x)−fn(x))+∑n=N+1+∞(hn,k(x)−fn(x))∣|H_k(x) - g(x)| = \left| \sum_{n=0}^{N} (h_{n,k}(x) - f_n(x)) + \sum_{n=N+1}^{+\infty} (h_{n,k}(x) - f_n(x)) \right|
En utilisant l'inégalité triangulaire :
∣Hk(x)−g(x)∣≤∑n=0N∣hn,k(x)−fn(x)∣+∑n=N+1+∞∣hn,k(x)∣+∑n=N+1+∞∣fn(x)∣|H_k(x) - g(x)| \le \sum_{n=0}^{N} |h_{n,k}(x) - f_n(x)| + \sum_{n=N+1}^{+\infty} |h_{n,k}(x)| + \sum_{n=N+1}^{+\infty} |f_n(x)|
∣Hk(x)−g(x)∣≤∑n=0N∣hn,k(x)−fn(x)∣+2ε3|H_k(x) - g(x)| \le \sum_{n=0}^{N} |h_{n,k}(x) - f_n(x)| + \frac{2\varepsilon}{3}

Puisque la somme de 00 à NN est finie et que chaque terme tend vers 0 quand k→+∞k \to +\infty, il existe KK tel que pour k≥Kk \ge K, cette somme est inférieure à ε/3\varepsilon/3. Alors ∣Hk(x)−g(x)∣<ε|H_k(x) - g(x)| < \varepsilon.

Hk→sg\boxed{H_k \xrightarrow{s} g}

Vérifier la convergence de la double suite avant d'intervertir les limites.

La troncature permet de transformer une convergence simple en convergence normale pour des séries.