L'escalier de Cantor-Lebesgue

On définit par récurrence une suite de fonctions $(f_{n})$ sur $[0,1]$ en posant $f_{0}(x) = x$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $f_{n+1}$ est définie ainsi :

$f_{n+1}\left(\frac{k}{3^{n}}\right) = f_{n}\left(\frac{k}{3^{n}}\right)$ pour $k \in \{0, \dots, 3^{n}\}$ .
Sur chaque intervalle $[\frac{3k+1}{3^{n+1}}, \frac{3k+2}{3^{n+1}}]$ , la fonction $f_{n+1}$ est constante et vaut $f_{n}\left(\frac{2k+1}{2 \cdot 3^{n}}\right)$ .
$f_{n+1}$ est affine sur les intervalles restants pour assurer la continuité.

Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction continue $f$ .
Soit $U$ la réunion des intervalles ouverts $J_{n,k} = ]\frac{3k+1}{3^{n+1}}, \frac{3k+2}{3^{n+1}}[$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Justifier que $f$ est dérivable sur $U$ et préciser sa dérivée.
Calculer la somme des longueurs des intervalles constituant $U$ . Que peut-on en conclure sur la croissance de $f$ ?

1.

Pour la convergence uniforme, montrer que $\|f_{n+1}-f_n\|_{\infty} \leq \frac{1}{2 \cdot 3^n}$ ou une borne similaire.

2.

Pour la question 2, observer que si $f_{n+1}$ est constante sur un intervalle, alors toutes les fonctions suivantes le seront aussi.

3.

Pour la question 3, utiliser une série géométrique pour sommer les longueurs $1/3, 2/9, 4/27, \dots$

Idées clés

•

Construction de l'ensemble de Cantor (complémentaire de $U$ ).

•

Sommation de séries géométriques.

•

Propriété d'une fonction constante sur des intervalles denses.

Résolution.

Sur un intervalle $I = [\frac{k}{3^n}, \frac{k+1}{3^n}]$ , $f_n$ varie de $\Delta f = f_n(\frac{k+1}{3^n}) - f_n(\frac{k}{3^n})$ . $f_{n+1}$ est construite en "aplatissant" le tiers central. L'écart maximal entre $f_{n+1}$ et $f_n$ est atteint aux bords du tiers central. On montre par récurrence que $\Delta f = (1/2)^n$ . L'écart maximal est alors $\|f_{n+1} - f_n\|_{\infty} \leq \frac{1}{2} (1/2)^n = (1/2)^{n+1}$ . Comme $\sum (1/2)^n$ converge, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ continue. $\boxed{f \text{ est continue sur } [0,1]}$
Soit $J$ l'un des intervalles ouverts $]\frac{3k+1}{3^{n+1}}, \frac{3k+2}{3^{n+1}}[$ . Par construction, $f_{n+1}$ est constante sur $J$ . De plus, pour tout $m > n+1$ , la construction préserve les valeurs sur les plateaux déjà créés. Donc $f_m$ est constante sur $J$ et égale à $f_{n+1}$ . Par passage à la limite, $f$ est constante sur $J$ . La dérivée de $f$ sur $U$ est donc nulle : $\boxed{\forall x \in U, f'(x) = 0}$
À l'étape $n=0$ , on retire $1$ intervalle de longueur $1/3$ . À l'étape $n=1$ , on retire $2$ intervalles de longueur $1/9$ . À l'étape $n$ , on retire $2^n$ intervalles de longueur $(1/3)^{n+1}$ . La somme des longueurs $L$ est : $L = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ Il s'agit d'une série géométrique de raison $2/3 < 1$ : $L = \frac{1}{3} \times \frac{1}{1 - 2/3} = \frac{1}{3} \times 3 = 1$ $\boxed{L = 1}$ L'ensemble $U$ a une longueur totale de $1$ , et pourtant $f(0)=0$ et $f(1)=1$ . Bien que la dérivée soit nulle "presque partout" (sur un ensemble de mesure 1), la fonction parvient à croître de $0$ à $1$ . C'est un exemple de fonction continue, croissante, dont la dérivée est nulle presque partout mais qui n'est pas constante.

Croire que f' = 0 presque partout implique f constante pour une fonction continue.

L'existence d'une fonction continue croissante de dérivée nulle sur un ensemble de mesure 1.