Convergence uniforme et domaine d'une série exponentielle

Résolution.

1. Domaine de définition : Posons $u_n(x) = \frac{n^\alpha e^{-nx}}{n^2+1}$. - Si $x > 0$ : Par croissance comparée, $u_n(x) = o(n^{-2})$. La série converge pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$. - Si $x < 0$ : $u_n(x) \to +\infty$ quand $n \to +\infty$, donc la série diverge grossièrement. - Si $x = 0$ : $u_n(0) = \frac{n^\alpha}{n^2+1} \sim \frac{1}{n^{2-\alpha}}$. La série converge si et seulement si $2-\alpha > 1$, soit $\alpha < 1$. On obtient :
   $$\boxed{ D = \begin{cases} \mathbb{R}_+ & \text{si } \alpha < 1$$
   \mathbb{R}_+^* & \text{si } \alpha \geqslant 1 \end{cases} }

2. Continuité sur $]0, +\infty[$ : Les fonctions $u_n$ sont continues et décroissantes sur $\mathbb{R}_+$. Pour tout segment $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ :
   $$\forall x \in [a, b],   |u_n(x)| \leqslant u_n(a)$$
   Comme $a > 0$, $\sum u_n(a)$ converge. La série converge donc normalement sur tout segment de $]0, +\infty[$. La somme $f$ est donc \boxed{ \text{continue sur } ]0, +\infty[ }.

3. Convergence sur $D$ : Convergence normale : On a $\|u_n\|_{\infty, D} = \sup_{x \in D} |u_n(x)|$. Comme $u_n$ est décroissante sur $D \subset \mathbb{R}_+$ :
   $$\sup_{x \in D} |u_n(x)| = \lim_{x \to \inf D} u_n(x) = u_n(0) = \frac{n^\alpha}{n^2+1} \sim \frac{1}{n^{2-\alpha}}$$
   La série $\sum \|u_n\|_{\infty, D}$ converge si et seulement si $2-\alpha > 1$, soit $\alpha < 1$. Ainsi, la convergence est \boxed{\text{normale sur } D \iff \alpha < 1}.

   Convergence uniforme : Si $\alpha < 1$, la convergence normale sur $D$ implique la convergence uniforme. Si $\alpha \geqslant 1$, alors $D = ]0, +\infty[$. Considérons le reste d'ordre $n$ : $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)$. Pour tout $x > 0$ et tout $N > n$ :

   $$R_n(x) \geqslant \sum_{k=n+1}^{N} \frac{k^\alpha e^{-kx}}{k^2+1}$$
   En faisant tendre $x$ vers $0^+$ :
   $$\lim_{x \to 0^+} R_n(x) \geqslant \sum_{k=n+1}^{N} \frac{k^\alpha}{k^2+1}$$
   Comme $\alpha \geqslant 1$, $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{k^\alpha}{k^2+1}$ diverge vers $+\infty$. En faisant tendre $N$ vers $+\infty$, on en déduit que le reste $R_n$ n'est même pas borné au voisinage de 0. Par conséquent, $\|R_n\|_{\infty, D} = +\infty$, ce qui interdit la convergence uniforme. Conclusion :
   $$\boxed{ \text{Convergence uniforme sur } D \iff \alpha < 1 }$$